モナドと同値になる

クライスリトリプルとモナドは互いに変換可能

インフォーマルな定義はKleisli Tripleの定義の図的理解に書いた

定義

前提として圏\mathscr{A}と、その対象A,B,TA,TBが登場人物

3つ組(T,\eta,(-)^*)

関手T:\mathscr{A}\to\mathscr{A}

自然変換\eta

これは射の族\{\eta_A:A\rightarrow TA|A\in \mathrm{ob}_\mathscr{A}\}

写像の族(-)^*

これは、射f:A\to TBから、射f^*:TA\to TBを与える操作

ちゃんと書くと\{(-)^*:\mathscr{A}(A,TB)\to \mathscr{A}(TA,TB)|A,B\in\mathrm{ob}_\mathscr{A}\}

この3つ組(T,\eta,(-)^*)が以下を満たすとき、クライスリトリプルと呼ぶ

①f^*\circ\eta_A=f

②\eta_A^*=\mathrm{id}_{TA}

③g^*\circ f^*=(g^*\circ f)^*

①f^*\circ\eta_A=f

等式の = は、この図が可換になることを言ってる

②\eta_A^*=\mathrm{id}_{TA}

①のfに\eta_Aを代入したものが②になる

等式の = は、この図が可換になることを言ってる

③g^*\circ f^*=(g^*\circ f)^*

等式の = は、この図が可換になることを言ってる

図で表しづらいので、同じものを表す箇所を緑でなぞっている

緑の矢印と、括弧の中身の部分が同じものを指す