モナドと随伴の関連に対する予想についてHeinrich KleisliがEvery standard construction is induced by a pair of adjoint functorsという論文で発表した

圏\mathscr{A}上のKleisli Triple(T,\eta,(-)^*)が与えられたとき、クライスリ圏\mathscr{A}_Tとは

\mathscr{A}_Tの対象は、\mathscr{A}の対象と同じ

射f_T:X_T\to Y_Tは、\mathscr{A}上のf:X\to TY

恒等射1_{X_T}は、\mathscr{A}上の自然変換\eta_X

前提

圏\mathscr{A}_Tとその対象X_T,Y_T、射f_T:X_T\to Y_T

慣れるまでは元の圏\mathscr{A}上で見るとわかりやすい

対象Xと射fを関手Tでくるんだもの(T(X),T(f))を括弧を省略してTX, Tfと書いている

左が元の圏\mathscr{A}で、右がクライスリ圏\mathscr{A}_T

同じ色の矢印が対応している射

F,Gは関手

関手F:\mathscr{A}\to\mathscr{A}_Tの対応付け

図中の太線水色の対応

F(X\xrightarrow{f'}Y)=X_T\xrightarrow{(\eta_Y\circ f')_T}Y_Tという対応付け

\etaはモナドやクライスリトリプルの\eta:A\to TAのやつ

関手G:\mathscr{A}_T\to\mathscr{A}の対応付け

図中の太線オレンジの対応

G(X_T\xrightarrow{f_T}Y_T)=TX\xrightarrow{\mu_Y\circ (Tf)}TY という対応付け

\muはモナドの\mu:T^2A\to TAのやつ

関手の合成をするとGF=Tになる

F,Gが随伴関係

参考

『圏論の歩き方』 5章

むずい