Philip Wadlerが言ったらしい

モナドとは自己関手の圏におけるモノイド対象である。なにか問題でも？

モナドの定義とモノイド対象の定義の類似性をわかりやすく示したい

そのためにもモノイド対象をもうちょいちゃんと理解しないといけない

圏\mathscr{A}において

関手T:\mathscr{A}\to\mathscr{A}

自然変換\eta:1\to T

自然変換\mu:TT\to T

の3つ組(T,\eta,\mu)がモナドであるとする

「自己関手の圏」

自己関手圏Fun\mathscr{A}^\mathscr{A}のこと

関手Tはこの\mathscr{A}^\mathscr{A}の対象

「モノイド対象」

まずはじめに\mathscr{A}^\mathscr{A}の演算にモノイド積を当てはめるなどして、\mathscr{A}^\mathscr{A}をモノイダル圏として見る必要がある

「自己関手同士の合成」を「モノイド積」に当てはめることで、\mathscr{A}^\mathscr{A}をモノイド圏としてみることができる

どうあてはめるか #??

M(M(X)) を M◦M(X) と見ることができるので

M(M(X))→M◦M(X) は、(この M は関手)

M×M→M である(この M は型)

モノイド対象の定義に沿って、自己関手のやつを対応させればいい

1は\mathscr{A}^\mathscr{A}の単位対象

だが、これはなに #??

モナドの定義を見る

圏\mathscr{A}上のモナドとは、3つ組(T,\eta,\mu)

自己関手T:\mathscr{A}\to\mathscr{A}

自然変換\eta:\mathrm{id}\Rightarrow T

以下の図式を可換にする

モノイド対象の単位律の図とにていることを強調したい

自然変換\mu: T\circ T\Rightarrow T

以下の図式を可換にする

こっちはモノイド対象の何と関連している #??

TTTAは括弧を明示的に書くならT(T(T(A)))

Haskellと対応させるときは、ポイントフリーなものではないほうを参照したほうがわかりやすい

これの下の方の図