そこそこまあまあ精密に読む『ベーシック圏論 普遍性からの速習コース』
これを雑に読めるのかよ...！
遥かなる実力の差を感じる
この認識わかる気がする
これあるよなー
雑に読んでないです。タイトル詐欺でした
タイトル変えるか
変えた
一字一句噛みしめながら読んでます
定義を一つ一つ確認し、数式を組み立てていく
簡単なのは脳内で完結するが、今回はだいぶ込み入ってるので読書メモを書きたくなった
へぇ〜
注：テキストから勝手に記号変えているところあります
教科書の数式を自分の記号体系に翻訳しながら読んでいるので
定義は書き出しているので、第三者が読んでもそれほど混乱しない……はず
あっ数理論理学の記号の説明は省いてます
質問あれば解説する
今日は大丈夫です
もう店じまい
明日からは別のレポートやるので明日これ編集してたら追い出してください
笑う
2024-01-19の置き水差し
序論
普遍性とやらの例を、様々な数学で示している
例0.1 単集合の普遍性
例0.2 環と環準同型写像の普遍性
補題0.3 環と環準同型写像の普遍性
例0.4 線型空間の普遍性
例 0.5 離散位相の普遍性
このとき、任意の位相空間Xと\forall f:S\to Xについて、f=\bar f\circ iとなる連続写像\bar f:D\to Xが一意に存在する
i:S\ni s\mapsto s\in Dとする
記述が混乱しているので一旦飛ばす
テキストでは、台集合と空間を同じ記号で表していて、どちらの意味で使っているのか読み取れない
密着位相だと成り立たないらしい
例 0.6 双線型空間の普遍性
補題0.7 双線型空間の普遍性
重要なのは構成方法ではなく普遍性
どんな構成方法であれ、それで一度普遍性を証明さえできれば、構成方法は忘れてしまって構わない
必要なことはすべて普遍性が教えてくれる
自然数の構成を忘れても計算できるのと同じ理屈
演習問題0.14 ミッション：普遍的な錐・余錐を見つけよ
どう切り出そう
章ごとに切り出せばいいかと思ったけど、例単位で量が膨大になってしまった
例ごとに切り出すか
タイトルはどうしよう
✅「線型写像の普遍性」とかでいいか
「例0.4 線型写像の普遍性」でもいいけど、論理と集合から始める数学の基礎 読書会ではとくに節番号をつけずに切り出しているし、なくてもいいだろう
いくつか切り出した
コンテンツ増えてた
第1章 圏・函手・自然変換
2024-02-10 まだ第1章にすら到達できていないの笑う
早く第1章やりたいよ～我慢できないよ～！
1.1 圏
定義1.1.1 圏の定義
注意1.1.2
(a) 記法は他にもある
A\in\mathscr A:\iff A\in{\rm ob}(\mathscr A)
対象の集まりと圏とを混同する記法
紛らわしいので採用しない
この2つは日常的に使うので採用
f:A\to B:\iff f\in\mathscr A(A,B)
A\xrightarrow{f}B:\iff f\in\mathscr A(A,B)
{\rm Hom}(A,B):={\rm Hom}_\mathscr A(A,B):=\mathscr A(A,B)
これもよく使われる
>記法「\rm Hom」は、最も初期の圏論の例に由来し、準同型を意味している。
\bullet\circ\bulletと{\rm id}_\bulletも、他の圏のものを区別するために、_\mathscr Aを添えたほうがいいかも知れない
(b) 略
(c) 略
(d) 曖昧につかった「集まり」は、大雑把にクラスだと思っていていい
論者の定義によっては厳密にイコールにならないこともあるが、それぞれほぼ同じ概念だと思っていい
例 1.1.3 圏の例
理由は知らないが、圏の固有名には太字ローマン体を使う
なら任意の圏も\mathscr Aではなく\bf Aと書いてしまえばいいのに
2024-02-25 途中から{\bf A}に切り替えた
集合圏\bf Set
{\rm ob}({\bf Set})：集合の集まり
\circ：写像の合成
{\rm id}_\bullet：恒等写像
この4要素(恒等射を圏の条件に加えるなら3要素)を指定して初めて圏を定義できるが、通常は対象と射を指定し他を略してしまう
「集合と写像の圏」というふうに
さらに射が自明っぽいときは、対象だけ指定することが多い
「集合(の)圏」のように
更に例を挙げる
群の圏\bf Grp
{\rm ob}({\bf Grp})：群の集まり
f:A\to B：群準同型の集まり
\circ：多分写像の合成であってる
環の圏\bf Ring
{\rm ob}({\bf Ring})：環の集まり
f:A\to B：環準同型写像の集まり
\circ：多分写像の合成であってる
線型空間の圏\bf Vect_K\quad\text{.for }\forall K\in{\cal B}
線型空間の略記を参照
{\rm ob}({\bf Vect})：線型空間の集まり
\circ：写像の合成
「体K上の線型空間と線型写像の圏」とも言える
位相空間の圏\bf Top
{\rm ob}({\bf Top})：位相空間の集まり
f:A\to B：連続写像の集まり
\circ：写像の合成
定義1.1.4
\forall A,B\in{\rm ob}(\mathscr A)\forall f:A\to B.
f^{-1}は存在すれば一意である
A\cong B:\iff同型射f:A\to Bが存在する
同型とは、対象同士で相互変換が可能だということ
演習問題1.1.13 逆射の一意性
どういうこと？
そういうことか～
例1.1.5 \bf Setの同型射は全単射な写像である
例1.1.6
\bf Grpの同型射は群同型写像である
\bf Ringの同型射は環同型写像である
例1.1.7 \bf Topの同型射は同相写像である
\bf Topの全単射な射は同型射にならない
例：[0,2\pi\lbrack\ni\theta\mapsto e^{i\theta}\in\{z\in\Complex||z|=1\}は全単射な連続写像だが、同相写像ではない
同相写像の定義がわからないから、これを説明できない
レベルアップしたときに再訪しよう
ここまでは集合と写像のアナロジーが使える圏を挙げた
ここから、集合とか写像とかで捉えられない圏を挙げる
以降、圏を3つ組で表現する
{\bf A}=({\rm ob}({\bf A}),{\bf A}(\bullet,\bullet),\bullet\circ\bullet)
例1.1.8
(a)
対象を1つだけもつ圏\bf 1
何らかの対象と、それと対応付けられる適当ななにかを選べばいい
対象をIとすると
{\bf 1}=(\{I\},{\bf 1}(I,I),\circ:{\bf 1}(I,I)\times{\bf 1}(I,I)\to{\bf 1}(I,I))
となる
(b) 離散圏 (discrate category)
恒等射以外の射が存在しない圏
\forall A,B\in{\rm ob}(\mathscr A).\mathscr A(A,B)\neq\varnothing\implies A=B
始める前に、まず群ってなんだよってとこからやりたい
定義を群に書こう
19:38:17 書いた
群=monoid+逆元の存在であるから、任意のfに対してf\circ g=iとなるgが存在していればいい
これはすべての射が同型射であることと同義である
よって、対象が1つで同型射のみから構成される圏は、群と同一視できる
p.17をよく読んだら、正確には「群の圏と対象が1つで同型射しか持たない圏とは圏同値である」と記述されるとあった
おそらく以降の「本質的に同じ」も「圏同値」のことだと思われる
先の方を読んだところ、圏同値の定義には自然変換が必要っぽい
定義を深堀りするのはしばらくお預けかなあ
ここまでの感想
圏って、群とかmonoidみたいに、ものとそれに対する演算の組で、ある条件をみたすもの、つまり数学的構造の一つと捉えられそうだ
圏に条件を加えたり対応関係を作ったりすることで、群とかmonoidとか他の数学的構造を表せるようになる
つまり、群やmonoidを圏の特殊ケースとして解釈し直せる
これと同等の主張がp.17にある
しかし、だとするとますます集合論じゃだめなの？という疑問が強くなる
一応、まえがきを見ると集合論では表現できないことがあるらしいが……
この謎が解けたら圏論完全理解できそう
まあ対象の集まりが集合ではないことがあるから「対象の集合」と言えなくて「対象の類」って言ってるわけだし
集合圏とかが対象が集合でないものの代表格かな
任意の{\bf A}に対し、射の向きを反転させた反対圏{\bf A}^{\rm op}が定義される
{\rm ob}({\bf A}^{\rm op})={\rm ob}({\bf A})
{\bf A}^{\rm op}(A,B)={\bf A}(B,A)
✅進める前に例0.8 群準同型の普遍性の証明を読む
注意1.1.10 双対原理
\bf Aで成り立つありとあらゆるものは、{\bf A}^{\rm op}でも成り立つ
本当か？
構成 1.1.11 直積圏
演習問題
略
1.2 函手
注意1.2.2
(a) 函手の定義は、\bf Aの射の列からちょうど1個の\bf Bの射を得られるように作られている
これはよくわからない
ここメモを端折ってます
そのうちちゃんと書く
(b) 圏の圏
例 1.2.3 忘却函手
❌次に進む前に、函手の公理2.が不要かどうかを調べる
そんな……成り立たなかったんて……
夢は幻に終わった。もはや死を待つのみ
ヒルベルトの気持ちがちょっとわかった気がします
例1.2.4 自由函手 (free functor)
自由構成函手(free construction functor)とも呼ばれるらしい
忘却函手の双対にあたるもの
これは自明でないらしい
？？？
おそらくFは函手のことだろう
自由軍とはなんぞや
テキスト p.23
Fを使うと、SからS\subseteq\underline Gを満たす単純な群を構成できる、ということだろうか？
ここから、読むだけでは何言っているかよくわからなくなってきたので、アクティブ読書に切り替える
引用はほんの少しだし、まあ大丈夫だろう
テキストp.23
>もう少し正確に述べてみよう．F(S)の元は，x^{-4}yx^2zy^{-3}(ここでx,y,z\in S)といった形式的な表示あるいは語(word)である．二つのこういった語は片方から他方が通常の簡約規則で得られるとき等しいとみなされる．たとえばx^3xy,x^4y,x^2y^{-1}x^2yはすべてF(S)の同じ元を表している．二つの語の乗法は，ただ単に一方をもう片方に続けて書く（連結する）だけである．たとえば，x^{-4}yx掛けるxzy^{-3}はx^{-4}yx^2zy^{-3}である．
>この構成法は，各集合Sについて群F(S)を割り当てる．さらに，Fは関手である．つまり集合間の写像f:S\to S'は群準同型写像F(f):F(S)\to F(S')を誘導する．たとえば，f(w)=f(x)=f(y)=uとf(z)=vで定義される集合間の写像
>f:\{w,x,y,z\}\to\{u,v\}
>を考える．これは群準同型写像
>F(f):F(\{w,x,y,z\})\to F(\{u,v\})
>を誘導し，そこではx^{-4}yx^2zy^{-3}\in F(\{w,x,y,z\})は
>u^{-4}uu^2vu^{-3}=u^{-1}vu^{-3}\in F(\{u,v\})
>へと写される．
これいきなり生成元が複数の自由群の話してると思うけどもっとシンプルなのは「整数の加法群」
S = \{1\}を部分集合として含む群はなーんだ
なかった
問題が生えてた
明日やろ
やっぱ今日やろ
\{1\}\subseteq\underline Gとして(\underline G,+)が加法群になるとする
+が2項演算だから2,3,4,\cdots\in\underline G
単位元の存在より0\in\underline G
逆元の存在より-1,-2,-3,-4,\cdots\in\underline G
なるほど、つまり「任意の加法群Gについて1\in\underline G\implies\Z\subseteq\underline G」が成立するのか
あー、生成元って例えば今のなら1のことか
含まれている元を指定すると、それによってある程度台集合の中身が決まる
この台集合は\Z\subseteq\underline Gという条件なため無数に存在するが、下限みたいなことを考えると、\Zただ一つに定まる
この(\Z,+)を「\{1\}から生成された自由(加法)群」と呼ぶわけだな～
納得
教科書届いたから読んでみたが情報が増えなかった！
てっきり何か解説を読み飛ばしてるのだと思って突っ込んだのだが、教科書もこのペースで書かれていた
それ
とりあえず、1と加算での自由群の次は「いくつも元がある集合」と「並べて書くこと」による自由群の話
簡約の話、いるかな…
一晩寝て回答: いる
群である条件から逆元をくっつけた時に単位元になることが求められる
ので、単なる結合ではなく簡約までセットじゃないと演算として適切でない
逆に、この演算なら任意の集合から群が作れる
>いくつも元がある集合
いくつも元がある集合
2元集合
S=\{1,i\}とする
僕は思いつかなかったけどこれはいい例
演算を加算以外にする
生成元：x,y
演算は文字連結.にしてみるか
x.y=xy
x.x=xx
x,yから生成される群を(\underline G,.)とする
二項演算だからxy,yx,xx,yy,xxx,xxy,xyx,xyy,\cdots\in\underline G
単位元x.\empty=\empty.x=x,\empty\in G
逆元x.x^{-1}=\empty,x^{-1}\in G
これがテキストだとxxをx^2と書くのとセットで簡約と呼ばれてる
このタイプは隣接した同じ文字をまとめて書き直したことと同じ操作なので、やってもやらなくても結果に支障はなさそうですね
加えてxxy,xyxも簡約で同じ元になるとされてますね。でもこれ必要かなあ
xxyx^{-1}とxyxx^{-1}(=xy)を同じ元とみなしていいものか
例えばn次元正則行列と行列積による群はxyx^{-1}\neq yとなる場合がある
群を構成するのに簡約が必ずしも必要というわけではなさそう
うーん、何のために簡約が必要なのかわかってないかも
>ここからは次回
先にTODO消化するかも
1.3 自然変換
こ、攻防が全く見えない
全然わからんくてわらった
🍩
何気に結構長く継続してて
たのしい
第2章 随伴
2.1 定義と例
2.2 単位と余単位から見た随伴
2.3 始対象からみた随伴
第3章 休憩：集合論について
数学基礎論の略説
圏論で公理的集合論を構築する
3.1 集合にまつわる諸構成
3.2 小さな圏と大きな圏
3.3 歴史についての注意
第4章 表現可能函手
4.1 定義と例
4.2 米田の補題
4.3 米田の補題の帰結
第5章 極限
5.1 極限：定義と例
5.2 余極限：定義と例
5.3 函手と極限の相互作用
第6章 随伴・表現可能函手・極限
6.1 随伴と表現可能函手からみた極限
6.2 前層の極限、余極限
6.3 随伴函手と極限の相互作用