忘却函手
非公式な用語で、正式な定義はないらしい
なんじゃそりゃ
(a) U:{\bf Grp}\to{\bf Set}
U_o:{\rm ob}({\bf Grp})\ni G\mapsto\underline G\in{\rm ob}({\bf Set})
U_f:{\bf Grp}(G,H)\ni g\mapsto g\in{\bf Set}(U_o(G),U_o(H))
gはここでは群準同型写像である
つまり、U=(G\mapsto\underline G,g\mapsto g)である
ようは群の圏から群の性質を削り取り、ただの集合と写像に仕立て上げたということ
これを忘却と呼んでいる
P\land Q\implies Pとやっていることは同じ
(b) いろいろな忘却函手
環構造を忘れちゃった函手U:{\bf Ring}\to{\bf Set}
U=(R\mapsto\underline R,r\mapsto r)
線型構造を忘れちゃった函手U:{\bf Vect}_K\to{\bf Set}
K：任意の体
U=(V\mapsto\underline V,v\mapsto v)
どんどん忘れていこう
実装を維持して、型定義を忘れた感じに近い
typescriptで書いた函数をjavascriptにtranspileするイメージ
……でおおむね的を得ていると思うがどうじゃろか
すべて忘れなくてもいいんですって！
構造や性質の一部だけを忘れた函手を考えられる
(c) 構造を忘れる
(\underline A,+,\times)をから\timesを削って(\underline A,+)にしちゃうとか
U:{\bf Ring}\to{\bf Ab}
U=((\underline R,+,\times)\mapsto(\underline R,+),r\mapsto r)
環は+に関して可換群
U:{\bf Ring}\to{\bf Mon}
U=((\underline R,+,\times)\mapsto(\underline R,\times),r\mapsto r)
環(擬環)は\timesに関してmonoid
(d) 性質を忘れる
可換群→群→monoid→半群→magmaみたいなやつ
どれも構造は(\underline A,+)と共通だが、満たすべき条件が緩和されていく
U:{\bf Ab}\to{\bf Grp}
U=(A\mapsto A,a\mapsto a)
忘れるのは世の常だが、効力を発揮することがあるらしい
忘れがちでも役に立つ