underlying set

数学的構造を考える際に

1. 主基集合

何の構造も持たない単なる裸の集合を主基集合(principal base set) や台集合(underlying set) と呼ぶ

2. 副基集合

既に構造を持った補助的な集合を副基集合(auxiliary base set) と呼ぶ

3. 代表的特性記述

主基集合と副基集合から直積/べき集合を繰り返し取って得られる集合を階梯と呼ぶ

「階梯に、ある集合Sが含まれる」ということを表す論理式のことを代表的特性記述(predicate) と呼ぶ

代表的特性記述を真にするような集合Sを構造と呼ぶ

なんかここの解釈が微妙な気がする

例

1. 順序集合(P,\le)の主基集合とは

その元の対の間に順序関係の定義される集合P

をいう

2. ベクトル空間\mathcal V=(V,(K,+_{K},\cdot_{K}),+_{V},\cdot_{K\times V})の

主基集合は

集合Vであり、

副基集合は

体 (K,+_{K},\cdot_{K})である

階梯は

代表的特性記述は

論理式「

加法の結合律:

加法の可換律:

加法単位元の存在:

加法逆元の存在:

加法に対するスカラー乗法の分配律:

体の加法に対するスカラー乗法の分配律:

体の乗法とスカラーの乗法の両立条件

スカラーの乗法の単位元の存在

を満たす集合 = ベクトル空間\in構造

が階梯\mathcal Vに含まれる

」である

(ただし、ホントに論理式で書くのはめんどい上に、代数的特性記述が何を指すのかが分かりづらくなる。つまり、そうしても誰も得をしない。よって、これを自然言語で表している)

つまり台集合は型は集合と同じだけど、構造について考える文脈が乗った表現…ってコト！？

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