対象が一つしかない圏はmonoidと実質等しい
圏\bf Aの定義と満たすべき条件は
{\bf A}=({\rm ob}({\bm A}),{\bf A}(\bullet,\bullet),\bullet\circ\bullet)
\forall A,B,C,D\in{\rm ob}({\bf A})\forall f\in{\bf A}(B,A)\forall g\in{\bf A}(C,B)\forall h\in{\bf A}(D,C).(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)
\forall A\in{\rm ob}({\bf A})\exist i\in{\bf A}(A,A)\forall B\in{\rm ob}({\bf A})\forall f\in{\bf A}(A,B)\forall g\in{\bf A}(B,A).f\circ i=f\land i\circ g=g
monoidMの定義と満たすべき条件は
M=(\underline M,\bullet*\bullet)
\forall f,g,h\in\underline M.(f*g)*h=f*(g*h)
\exist i\in\underline M\forall f\in\underline M.i*f=f=f*i
非常に似ていることがおわかりいただけるだろう
ここで、圏の対象にA一つしかないとすると
射の類は{\bf A}(A,A)一つに限定され
射の合成も\circ:{\bf A}(A,A)\times{\bf A}(A,A)\to{\bf A}(A,A)一つに限定される
圏の満たすべき条件は↓になる
\forall f,g,h\in{\bf A}(A,A).(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)
\exist i\in{\bf A}(A,A)\forall f\in{\bf A}(A,A).i\circ f=f=f\circ i
これは、({\bf A}(A,A),\circ) がmonoidであることを意味する
以上より、対象がAしかない圏\bf Aについて、({\bf A}(A,A),\circ)がmonoidであることを示せた
