線型空間の普遍性
\forall W\forall f:S\to W\exists!\bar f:V\to W.f=\bar f\circ \bm e_\bullet\land\bar f\text{は線型写像である}
ただし、Wは線型空間の台集合とする
もっと大きな図のほうがいいかな？
成り立つ例
例えばf:S\ni i\mapsto 2\bm e_i\in Vがある
簡単のためW=Vとした
線型写像\bar f:V\ni\bm v\mapsto2\bm v\in Vを使えば、f=\bar f\circ\bm e_\bulletとなる
\because\bar f\circ\bm e_\bullet(i)=\bar f(\bm e_i)=2\bm e_i
fに線型性は要求されないのか？
たとえばW=V,f:S\ni i\mapsto 2\bm e_i+\bm e_1\in Vとしてみる
S=\{0,1,\cdots,N-1\}とした
基底の線型結合はVに属する
このとき\bar f(\bm e_i)=2\bm e_i+\bm e_1となる線型写像\bar fが存在すればいいが、存在するとは思えない
\bar f:\bm v\mapsto 2\bm v+\bm e_1は非線型なので却下
\bar f(a\bm e_0+b\bm e_1)=2a\bm e_0+(2b+1)\bm e_1
a\bar f(\bm e_0)+b\bar f(\bm e_1)=2a\bm e_0+(a+3b)\bm e_1
いや、↓ならいける
\bar f:V\ni \bm v\mapsto\begin{dcases}2\bm v+\bm e_1&\text{if }\exist i\in S.\bm v=\bm e_i\\\sum_iv_i\bar f(\bm e_i)&\text{otherwise}\end{dcases}\in V
ここで、v_iは\bm vの基底\{\bm e_i\}_{i\in S}における成分とした
\bm v=v_0\bm e_0+v_1\bm e_1+\cdots+v_{n-1}\bm e_{n-1}
証明
otherwiseの方で線型写像の定義を満たせている
\bar f(\bm e_i)=2\bm e_i+\bm e_1=f(i)だから\bar f\circ\bm e_\bullet=fも満たしている
f:i\mapsto\bm 0はどうだ？
これは簡単。\bar f:\bm v\mapsto\bm 0とすればいいだけ
証明
fが非線型でも成り立つことを示したときの\bar fの構成法を使えば示せる
存在を示す
\forall f:S\to Wにて
\bar fを定義する
\bar f:V\ni \bm v\mapsto\sum_iv_if(i)\in W
上では場合分けしていたが、線型結合だけで十分だと気付いた
\bar fが線型であることを示す
\forall\bm v_a,\bm v_b\in V\forall a,b\in K;
KはVに付随する係数体とした
\bar f(a\bm v_a+b\bm v_b)=\bar f(av_{ai}\bm e_i+bv_{bi}\bm e_i)
= \sum_iav_{ai}f(i)+\sum_ibv_{bi}f(i)
\because\bar fの定義
v_{ai},v_{bi}を\bm v_a,\bm v_bの成分とした
= a\sum_iv_{ai}f(i)+b\sum_iv_{bi}f(i)
= a\bar f(\bm v_a)+b\bar f(\bm v_b)
\because\bar f(\bm v_\bullet)=\sum_iv_{\bullet i}f(i)
\therefore\forall\bm v_a,\bm v_b\in V\forall a,b\in K.\bar f(a\bm v_a+b\bm v_b)=a\bar f(\bm v_a)+b\bar f(\bm v_b)
\therefore\forall f:S\to W\exists\bar f:V\to W.f=\bar f\circ \bm e_\bullet\land\bar f\text{は線型写像である}
一意性を示す
\forall f:S\to W\forall \bar f_0,\bar f_1:V\to W.
\begin{dcases}f=\bar f_0\circ\bm e_\bullet=\bar f_1\circ\bm e_\bullet\\\bar f_0,\bar f_1\text{は線型写像である}\end{dcases}
\implies\forall\bm v\in V.
\bar f_0(\bm v)=\sum_iv_i\bar f_0(\bm e_i)
\because\bar f_0\text{は線型写像である}
=\sum_iv_i\bar f_1(\bm e_i)
\because f=\bar f_0\circ\bm e_\bullet=\bar f_1\circ\bm e_\bullet
=\bar f_1(\bm v)
\because\bar f_1\text{は線型写像である}
\iff\forall\bm v\in V.\bar f_0(\bm v)=\bar f_1(\bm v)
\iff \bar f_0=\bar f_1
\underline{\therefore\forall f:S\to W\exists!\bar f:V\to W.f=\bar f\circ \bm e_\bullet\land\bar f\text{は線型写像である}\quad}_\blacksquare
やったー！証明できた！
一意性の証明で\bar fの定義を一ッッッッッ切使っていないことに注目
このことは補題0.3と共通する
この例では、\bm e_\bulletによって、全単射{\cal F}:(S\to W)\to(V\to W)が構成できることを示している
\cal Fの構成が普遍性を意味している
なんだか当たり前に思えてきた
fは1変数函数
eg0.4.tikz(tex)\usepackage{bm}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[auto,->]
\node (S) at (2,0) {$S$};
\node (V) at (0,0) {$V$};
\node (W) at (0,2) {$W$};
\draw (S) -- node {$\bm e_\bullet$} (V);
\draw (S) -- node[swap] {$\forall f$} (W);
\draw[dashed] (V) -- node {$\exists! \bar{f}\textrm{ is linear}$} (W);
\end{tikzpicture}
\end{document}