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単集合の普遍性
from そこそこまあまあ精密に読む『ベーシック圏論 普遍性からの速習コース』

\frak1を単集合とする
中身はなんでもいい
このとき\forall X\exist!f:X\to\frak1
たとえば\frak1=\{1\}としたとき、\forall x\in X\exists!y\in\frak1.f(x)=yだが
\forall x\in X\exists!y\in\frak1.f(x)=y
\iff\forall x\in X.f(x)=1
つまり全部同じ元に写す写像しか作れない
一意性の証明：
\begin{dcases}\forall x\in X.f(x)&=1\\\forall x\in X.g(x)&=1\end{dcases}
\implies \forall x\in X.f(x)=1=g(x)
\underline{\iff f=g\quad}_\blacksquare
写像f:X\to Yは\forall x\in X\exist!y\in Y.f(x)=yを常に満たす
これより、\forall X\exist!f:X\to\frak1はX\xmapsto{\cal F}(f:X\to\frak 1)という写像\cal Fの存在を表していると解釈できる
\cal Fの定義域はごまかした
あえて言うなら「すべての集合をあつめた集まり」だが、集合論では表現できない