generated at
直積圏
from そこそこまあまあ精密に読む『ベーシック圏論 普遍性からの速習コース』
圏の直積
product category

任意の圏\bf A,Bについて、
{\bf A}\times{\bf B}:=(
{\rm ob}({\bf A})\times{\rm ob}({\bf B}),
((A,B),(A',B'))\xmapsto{{\bf A}\times{\bf B}((A,B),(A',B'))}{\bf A}(A,A')\times{\bf B}(B,B'),
({\bf A}\times{\bf B}(V,W))\times({\bf A}\times{\bf B}(U,V))\ni((f_0,f_1),(g_0,g_1))\xmapsto{(f_0,f_1)\circ(g_0,g_1)} (f_0\circ g_0,f_1\circ g_1)\in{\bf A}\times{\bf B}(U,W)
)
を直積圏と呼ぶ

直積圏の恒等射は{\rm id}_{(A,B)}=({\rm id}_A,{\rm id}_B)である
証明
\forall (f_0,f_1)\in{\bf A}\times{\bf B}((A,B),(A',B')).
(f_0,f_1)\circ{\rm id}_{(A,B)}=(f_0,f_1)\circ({\rm id}_A,{\rm id}_B)
=(f_0\circ{\rm id}_A,f_1\circ{\rm id}_B)
=(f_0,f_1)
\forall (f_0,f_1)\in{\bf A}\times{\bf B}((A',B'),(A,B)).
{\rm id}_{(A,B)}\circ(f_0,f_1)=({\rm id}_A,{\rm id}_B)\circ(f_0,f_1)
=({\rm id}_A\circ f_0,{\rm id}_B\circ f_1)
=(f_0,f_1)
恒等射の性質を満たすので、恒等射の一意性より{\rm id}_{(A,B)}=({\rm id}_A,{\rm id}_B)が{\bf A}\times{\bf B}の恒等射となる