関手の定義
関手の定義
>A function between categories which maps objects to objects and morphisms to morphisms.
定義はちょい違う
圏\bf Aから圏\bf Bへの函手をF:{\bf A}\to{\bf B}と書き、次のように定義する
構成方法
いろいろありそう
オーバーロード方式
『ベーシック圏論 普遍性からの速習コース』で採用している方法
どちらの写像もFという記号を使う
1番目が引数が対象のときの定義
2番目が引数が射のときの定義
一種のオーバーロード
なぜ同じFを使うようになってしまったのかは不明
組による表示
F=(
{\rm ob}({\bf A})\ni A\mapsto F_o(A)\in{\rm ob}({\bf B}),
{\bf A}(A,B)\ni f\mapsto F_f(f)\in{\bf B}(F_o(A),F_o(B))
)
対象を写す写像と射を写す写像という全く違うものに同じ記号を使うのが紛らわしくて嫌だったので、こうした
{\rm ob}({\bf A})\ni A\mapsto F_o(A)\in{\rm ob}({\bf B})
{\bf A}(A,B)\ni f\mapsto F_f(f)\in{\bf B}(F_o(A),F_o(B))
名称と記号は/mrsekut-p/関手#5f4b67041982700000fa2a0aで発見した
便利そうなので使った
満たすべき条件
射の合成の保存
1. \forall A_0,A_1,A_2\in{\rm ob}({\bf A})\forall g\in{\bf A}(A_0,A_1)\forall f\in{\bf A}(A_1,A_2).F_f(f\circ g)=F_f(f)\circ F_f(g)
恒等射の保存
2. \forall A\in{\rm ob}({\bf A}).F_f({\rm id}_A)={\rm id}_{F_o(A)}
これいらないかもしれない
1.と圏の定義の単位元の存在と組み合わせれば求まりそう
恒等射に恒等射を合成したら言えそうだよね
即落ち2コマ()