恒等射の保存を導出できなかった
恒等射の保存を導出しようとしたができなかった
できないのが教科書的に正しい
恒等射の存在
>\forall A\in{\rm ob}(\mathscr A)\exist i\in\mathscr A(A,A)\forall B\in{\rm ob}(\mathscr A)\forall f\in\mathscr A(A,B)\forall g\in\mathscr A(B,A).f\circ i=f\land i\circ g=g
射の合成の保存により
F(f)\circ F(i)=F(f) \quad\land\quad F(i)\circ F(g)=F(g) .... (1)
ここで定義{\bf A}(A,B)\ni f\mapsto F(f)\in{\bf B}(F(A),F(B))により、F(i)は{\mathscr A}(F(A),F(A))\ni F(i)を満たす
\forall B\in{\rm ob}(\mathscr A)\forall f\in\mathscr A(A,B)\forall g\in\mathscr A(B,A).f\circ i=f\land i\circ g=gを使ってF(i)が恒等射であることを言いたいが...
あれ？ここが問題か？
これがTrueにならないな
なるほど{\bf A}(A,B)\ni f\mapsto F(f)\in{\bf B}(F(A),F(B))は、圏Aの射に対応する圏Bの射が存在することは言っているが、それ以外の射がないとは言ってないので(1)が満たされただけで「すべての射について」の主張を導くことができない
具体例
f_i \circ f_j = f_{i+j}だが、f_1 \circ f_1 = f_1になるとします
この写像は恒等射の保存以外の条件を満たしている
圏Aの対象の圏Bの対象への写像
{\rm ob}({\bf A})\ni A\mapsto F(A)\in{\rm ob}({\bf B})
圏Aの射の圏Bの射への写像
{\bf A}(A,B)\ni f\mapsto F(f)\in{\bf B}(F(A),F(B))
射の合成の保存
\forall A_0,A_1,A_2\in{\rm ob}({\bf A})\forall g\in{\bf A}(A_0,A_1)\forall f\in{\bf A}(A_1,A_2).F(f\circ g)=F(f)\circ F(g)
gもfもidAでありF(id_A\circ id_A)=F(id_A)=f_1, F(id_A)\circ F(id_A) = f_1 \circ f_1=f_1だから。
恒等射の保存はされない
恒等射の保存
\forall A\in{\rm ob}({\bf A}).F({\rm id}_A)={\rm id}_{F(A)}
F({\rm id}_A)=f_1だがf_1 \circ f_2 = f_3なのでf_1 \neq {\rm id}_B
別途f_0 = {\rm id}_Bがある