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環と環準同型写像の普遍性
from そこそこまあまあ精密に読む『ベーシック圏論 普遍性からの速習コース』

環と環準同型写像の普遍性
ここで身構えたが、どちらも知らなくても(takkerには)理解できるように書かれていたtakker
任意の環Aは乗法単位元1_Aと加法単位元0_Aと\forall a\in Aに対して加法逆元-aをもつものとする
任意の環A,Bについて、以下を満たす写像\phi: A\to Bを環準同型写像と呼ぶ
乗法単位元を保つ：1_A\xmapsto\phi1_B
加法単位元を保つ：0_A\xmapsto\phi0_B
加法を保つ：\forall n\in A.\phi(n)=\underbrace{\phi(1_A)+\cdots\phi(1_A)}_n
逆元を保つ：\forall n\in A.\phi(-n)=-\phi(n)
任意の環AとRについて、
P(A,B):\iff\exist!f:A\to B.\text{fは環準同型写像である}
環Zが\forall R.P(Z,R)だとする
\phi:Z\ni n\mapsto\begin{dcases}\underbrace{1+\cdots+1}_n&\text{if }n>0\\0&\text{if }n=0\\-\phi(-n)&\text{if }n<0\end{dcases}\in RがPの定義にある環準同型写像となる
うーん、当たり前なのでパス！takker


補題0.3 \forall A,Z.(\forall R.(P(A,R)\land P(Z,R))\implies A\cong Z)
A,Z,Rは環とする
ここで、\forall R.P(A,R)を満たす環Aを始対象と呼ぶことにする
例0.3のZは始対象
証明
\forall A,Zにて
\forall R.P(A,R)\land P(Z,R)
\implies\begin{dcases}\exist!\phi:A\to Z.\phi\text{は環準同型写像である}\\\exist!\psi:Z\to A.\psi\text{は環準同型写像である}\\\exist!{\rm id}_A:A\to A.{\rm id}_A\text{は環準同型写像である}\\\exist!{\rm id}_Z:Z\to Z.{\rm id}_Z\text{は環準同型写像である}\end{dcases}
{\rm id}_\bullet：\bulletの恒等写像
テキストでは1_\bulletが恒等写像の記号として使われているが、この補題のメモでは乗法単位元1_Aなどと記号がかぶってしまうので、別の記号にした
\rm id_\bulletという書き方も一般に使われる
\iff\begin{dcases}\exist!\phi:A\to Z.\phi\text{は環準同型写像である}\\\exist!\psi:Z\to A.\psi\text{は環準同型写像である}\\\exist!{\rm id}_A:A\to A.{\rm id}_A\text{は環準同型写像である}\\\exist!{\rm id}_Z:Z\to Z.{\rm id}_Z\text{は環準同型写像である}\\\phi\circ\psi={\rm id}_A\\\psi\circ\phi={\rm id}_Z\end{dcases}
\implies\exist\xi:A\to Z.\xi\text{は全単射}
\underline{\iff A\cong Z\quad}_\blacksquare
A\cong Zを環同型と呼ぶ
TODO：図式で書き直す