群の準同型

像Imも群になる

定義

2つの群G, G'に対して、写像\phi:G\rightarrow G'が任意のa,b \in Gに対して以下のような性質を満たす時、GとG'は準同型であるという

\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)

このとき写像\phiのことを準同型という

上の定義ではabの表記が積っぽいけど積だとは言っていない

a\circ bのなんらかの演算に対する定義

だから例えば\phi(a+b)=\phi(a)\phi(b)とかもありうる

性質

前提

準同型fと集合G, G'を考えている

G,G'の元はそれぞれa,a'と表記する

準同型写像fによってGの単位元はG'の単位元へ移される

定義よりf(e)f(e)=f(ee)=f(e)=e'

なのでf(e)=f^{-1}(e) f(e)=e^{\prime}.

両辺にf^{-1}をかけた

準同型写像fによってGの逆元はG'逆元へ移される

定義よりf(a)f(a^{-1})=f(aa^{-1})=f(e)=e'

f\left(a^{-1}\right)=f(a)^{-1}.

^{-1}は「逆元」のことを表しているよ

準同型写像の合成は準同型写像になる

全射、単射、全単射な準同型写像もあれば、全射でも単射でもない準同型写像もある

準同型\varphiによる群の核Ker\mathrm{Ker}(\varphi)はGの正規部分群

準同型\varphiによる像Im\mathrm{Im}(\varphi)は、G'の部分群

例

\mathbb{R}から2次の一般線形群\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})への写像\phi(u)=\begin{pmatrix}1&u \\ 0&1\end{pmatrix}

u_1,u_2\in\mathbb{R}について

\phi\left(u_{1}\right) \phi\left(u_{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}{1} & {u_{1}} \\ {0} & {1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{1} & {u_{2}} \\ {0} & {1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{1} & {u_{1}+u_{2}} \\ {0} & {1}\end{array}\right)=\phi\left(u_{1}+u_{2}\right)

なので\phiは準同型

n次交代群

参考