generated at
tensor代数とtensor解析メモ
新記法書き換え作業中

\mathsf{E}=(\pmb{e}_i)_i,\ \mathsf{F}=(\pmb{f}_i)_i,\ \bar{\pmb{f}}_i=\sum_j[\pmb{G}]_{ij}\bar{\pmb{e}}_jのとき、[\pmb{a}]^\mathsf{F}={[\pmb{G}]^\top}^{-1}[\pmb{a}]^\mathsf{E}になる
E,Fは順序付けられた基底
導出
\pmb{a}=\sum_i[\pmb{a}]^\mathsf{F}_i\bar{\pmb{f}}_i=\sum_{i,j}[\pmb{a}]^\mathsf{F}_i[\pmb{G}]_{ij}\bar{\pmb{e}}_jー①
\pmb{a}=\sum_i[\pmb{a}]^\mathsf{E}_i\bar{\pmb{e}}_iー②
①と②を、\bar{\pmb{e}}_iに関する線型独立性を用いて行列に分解する
①\land②\implies{[\pmb{a}]^\mathsf{F}}_j[\pmb{G}]_{ji}={[\pmb{a}]^\mathsf{E}}_i
\iff[\pmb G]_{ij}^\top[\pmb a]_j^{\sf F}=[\pmb a]_i^{\sf E}
\iff[\pmb{G}]^\top[\pmb{a}]^\mathsf{F}=[\pmb{a}]^\mathsf{E}
\iff\underline{[\pmb{a}]^\mathsf{F}={[\pmb{G}]^\top}^{-1}[\pmb{a}]^\mathsf{E}\quad}_\blacksquare
もし\sf E,Fともに正規直交基底だった場合
\pmb{a}=\pmb{a}\iff\pmb{a}=\pmb{I}\cdot\pmb{a}\iff[\pmb{a}]^\mathsf{F}=[\pmb{I}]^\mathsf{FE}[\pmb{a}]^\mathsf{E}が成立するので、[\pmb{I}]^\mathsf{FE}={[\pmb{G}]^\top}^{-1}と置き換えられる
この恒等tensorの成分表示を用いて基底vectorの変換式を書き換える
\pmb{f}_i=\sum_j{{[\pmb{I}]^\mathsf{FE}}^{-1}}^\top_{ij}\pmb{e}_j=\sum_j[\pmb{I}]^\mathsf{FE}_{ij}\pmb{e}_j
\because {{[\pmb{I}]^\mathsf{FE}}^{-1}}^\top=[\pmb{I}]^\mathsf{FE}
これは間違っているような
回転行列で確認してみよう
あってたtakker
R:=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}とすると、
\def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}\mat{\pmb{f}_0&\pmb{f}_1}=\mat{\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta}\mat{\pmb{e}_0&\pmb{e}_1}
変換するとき、基底vectorは行vectorで配置されていたのがポイント
列vectorに直すと\def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}\mat{\pmb{f}_0\\\pmb{f}_1}=R^{-1}\mat{\pmb{e}_0\\\pmb{e}_1}となる
一方[\pmb{a}]^\mathsf{F}=R[\pmb{a}]^\mathsf{E}なので、ちゃんと成分の変換が基底の変換の逆変換となっている
混乱の元だから、このメモをまとめ直すときは基底の変換式を予め転置させたほうがいいな
\pmb{f}_i=\sum_j[\pmb{G}]_{ji}\pmb{e}_j
なるほどねえtakker

導出メモの流れが不自然
新記法に書き換える際、\bar\bulletが最初から登場してしまった
元々は\pmb{a}=a^0\pmb{e}_0+a^1\pmb{e}_1+\cdots+a^i\pmb{e}_iと共変成分がa_i=\pmb{a}\cdot\pmb{e}_iで表せることしか使っていなかった


ある基底\sf Eの反変基底を\sf \bar Eと書くことにする
^{-1}のほうがいいかな？
面白そうなアイデアだけど一旦保留
まず基底のかけ算に該当するものを作らないといけないし
\mathsf{E}=(\pmb{e}_i)_iのとき、
[\pmb{a}]^\mathsf{\bar{E}}_i= \pmb{a}\cdot\bar{\pmb{e}}_i=\sum_j[\pmb{a}]^\mathsf{E}_j\bar{\pmb{e}}_j\cdot\bar{\pmb{e}}_i
[\pmb{\mathcal{G}}]_{ij}=\bar{\pmb{e}}_i\cdot\bar{\pmb{e}}_jとすれば、[\pmb{a}]^\mathsf{\bar{E}}_i= [\pmb{\mathcal{G}}][\pmb{a}]^\mathsf{E}と書ける
ここで、反変基底vector\bar{\pmb{e}}_iとの演算を考える
先の議論tensor代数とtensor解析メモ#62935de71280f000007b72b7 より\bar{\pmb{e}}_i=\sum_j{[\pmb{\mathcal{G}}]^\top}^{-1}_{ij}\pmb{e}_jであるので
\bar{\pmb{e}}_i\cdot\pmb{e}_j=\sum_k{[\pmb{\mathcal{G}}]^\top}^{-1}_{ik}\pmb{e}_k\cdot\pmb{e}_j
=\sum_k{[\pmb{\mathcal{G}}]^\top}^{-1}_{ik}[\pmb{\mathcal{G}}]_{kj}
あー！そういうトリックだったのかtakker
だから正規直交基底と同じ扱いになれるんだ
=\left({[\pmb{\mathcal{G}}]^\top}^{-1}[\pmb{\mathcal{G}}]\right)_{ij}
=\left([\pmb{\mathcal{G}}]^{-1}[\pmb{\mathcal{G}}]\right)_{ij}
\because[\pmb{\mathcal{G}}]は対称行列
=\llbracket i=j\rrbracket
よって、i\neq j\implies\bar{\pmb{e}}_i\cdot\pmb{e}_i=1\land\bar{\pmb{e}}_i\bot\pmb{e}_jとなる
二重直交性

変換
成分表示
\pmb{b}=\pmb{T}\pmb{a}とする
入力の基底を\mathsf{E}、出力の基底を\mathsf{F}で表すと、
\pmb{b}=\sum_i[\pmb{b}]^\mathsf{F}_i\pmb{e}_i
\pmb{T}=\sum_{i,j}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}_{ij}\pmb{e}_i\otimes\bar{\pmb{e}}_j
\pmb{a}=\sum_j[\pmb{a}]^\mathsf{E}_j\pmb{e}_j
これを\pmb{b}=\pmb{T}\pmb{a}に代入して、行列計算に書き換える
\sum_i[\pmb{b}]^\mathsf{F}_i\pmb{e}_i=\sum_{i,j}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}_{ij}\pmb{e}_i\otimes\bar{\pmb{e}}_j[\pmb{a}]^\mathsf{E}_j\pmb{e}_j
=\sum_{i,j}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}_{ij}[\pmb{a}]^\mathsf{E}_j(\bar{\pmb{e}}_j\cdot\pmb{e}_j)\pmb{e}_i
=\sum_{i,j}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}_{ij}[\pmb{a}]^\mathsf{E}_j\pmb{e}_i
\because \bar{\pmb{e}}_j\cdot\pmb{e}_j=1
\iff [\pmb{b}]^\mathsf{F} =[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{a}]^\mathsf{E}
\therefore \pmb{b}=\pmb{T}\pmb{a}\iff[\pmb{b}]^\mathsf{F} =[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{a}]^\mathsf{E}
これは正規直交基底に限らず、任意の基底で成立する成分表示である
計量行列[\pmb{\mathcal{G}}]のテンソルは恒等テンソル\pmb{I}である
\because \pmb{a}=\pmb{a}\iff\pmb{a}=\pmb{I}\pmb{a}\iff[\pmb{a}]^\mathsf{\bar{E}}=[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}[\pmb{a}]^\mathsf{E}
FにEを代入した
{[\pmb{I}]^\mathsf{FE}}^{-1}=[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{F}}も成り立つ
{[\pmb{I}]^\mathsf{FE}}^\top= [\pmb{I}]^\mathsf{EF}
[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{E}}は必ず単位行列となる
二回双対を適用すると元の基底に戻る(要検証)
無限次元線型空間だと成立しないらしい？
座標変換
[\pmb{T}]^\mathsf{H\bar{G}}を[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}で表す
[\pmb{b}]^\mathsf{F} =[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{a}]^\mathsf{E}
\iff [\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{H}}[\pmb{b}]^\mathsf{H} =[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{G}}[\pmb{a}]^\mathsf{G}
\iff [\pmb{b}]^\mathsf{H} ={[\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{H}}}^{-1}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{G}}[\pmb{a}]^\mathsf{G}
これが[\pmb{b}]^\mathsf{H} =[\pmb{T}]^\mathsf{H\bar{G}}[\pmb{a}]^\mathsf{G}と等しいから
\therefore[\pmb{T}]^\mathsf{H\bar{G}}={[\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{H}}}^{-1}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{G}}
=[\pmb{I}]^\mathsf{H\bar{F}}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{G}}
基底とその双対が打ち消し合う連鎖が起きている

基底の変換行列の成分を求める
\pmb{f}_i=\sum_j(\pmb{f}_i\cdot\bar{\pmb{e}}_j)\pmb{e}_j
ここで、\pmb{f}_i=\sum_j{{[\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}}^{-1}}^\top_{ij}\pmb{e}_jであったから
{{[\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}}^{-1}}^\top_{ij}=\pmb{f}_i\cdot\bar{\pmb{e}}_j
\iff{[\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}}^{-1}_{ij}=\bar{\pmb{e}}_i\cdot\pmb{f}_j
\iff[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{F}}_{ij}=\bar{\pmb{e}}_i\cdot\pmb{f}_j
となる
\sum_{i,j,k}(\bar{\pmb{e}}_i\cdot\pmb{f}_j)\pmb{e}_i\otimes\bar{\pmb{f}}_j[\pmb{a}]^\mathsf{F}_k\pmb{f}_k=\sum_{i,j,k}(\bar{\pmb{e}}_i\cdot\pmb{f}_j)[\pmb{a}]^\mathsf{F}_k\pmb{e}_i\llbracket j=k\rrbracket
=\sum_{i,j}(\bar{\pmb{e}}_i\cdot\pmb{f}_j)[\pmb{a}]^\mathsf{F}_j\pmb{e}_i
=\sum_i\left(\left(\sum_j\pmb{f}_j[\pmb{a}]^\mathsf{F}_j\right)\cdot\bar{\pmb{e}}_i\right)\pmb{e}_i
=\sum_i\left(\pmb{a}\cdot\bar{\pmb{e}}_i\right)\pmb{e}_i
=\sum_i[\pmb{a}]^\mathsf{E}_i\pmb{e}_i
=\pmb{a}
とくに問題ない。\pmb{I}=\sum_{i,j}(\bar{\pmb{e}}_i\cdot\pmb{f}_j)\pmb{e}_i\otimes\bar{\pmb{f}}_jであっているようだ

転置tensorと成分表示の転置との関係
定義：\pmb{a}\cdot\pmb{T}^\top\pmb{b}=\pmb{b}\cdot\pmb{T}\pmb{a}\quad\text{.for}\forall\pmb{a},\pmb{b}
\iff{[\pmb{a}]^{\bar{\mathsf{F}}}}^\top[\pmb{T}^\top]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{b}]^\mathsf{E}={[\pmb{b}]^\mathsf{E}}^\top[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{E}F}[\pmb{a}]^{\bar{\mathsf{F}}}
={[\pmb{a}]^{\bar{\mathsf{F}}}}^\top{[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{E}F}}^\top[\pmb{b}]^\mathsf{E}
転置でひっくり返しただけ
\pmb{a},\pmb{b}は任意だから、
\underline{\therefore[\pmb{T}^\top]^\mathsf{F\bar{E}}={[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{E}F}}^\top}
検証
\pmb{T}^\top=\sum_{i,j}[\pmb{T}^\top]^\mathsf{F\bar{E}}_{ij}\pmb{f}_i\otimes\bar{\pmb{e}}_j
=\sum_{i,j} {[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{E}F}}^\top_{ij}\pmb{f}_i\otimes\bar{\pmb{e}}_j
=\sum_{i,j} [\pmb{T}]^\mathsf{\bar{E}F}_{ji}\pmb{f}_i\otimes\bar{\pmb{e}}_j
\pmb{T}^\top=\sum_{i,j}[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{E}F}_{ij}(\bar{\pmb{e}}_i\otimes\pmb{f}_j)^\top=\sum_{i,j}[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{E}F}_{ij}\pmb{f}_j\otimes\bar{\pmb{e}}_i=\sum_{i,j}[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{E}F}_{ji}\pmb{f}_i\otimes\bar{\pmb{e}}_jだから、確かに正しい

逆tensorと成分表示の逆行列との関係
[\pmb{I}]^\mathsf{EG}=[\pmb{T}^{-1}\pmb{T}]^\mathsf{EG}
=[\pmb{T}^{-1}]^\mathsf{EF}[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{F}G}
\iff[\pmb{T}^{-1}]^\mathsf{EF}=[\pmb{I}]^\mathsf{EG}{[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{F}G}}^{-1}
={[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{G}\bar{E}}}^{-1}{[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{F}G}}^{-1}
=\left([\pmb{T}]^\mathsf{\bar{F}G}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{G}\bar{E}}\right)^{-1}
={[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{F}\bar{E}}}^{-1}
\underline{\therefore[\pmb{T}^{-1}]^\mathsf{EF}={[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{F}\bar{E}}}^{-1}}

不変量
scalar積
{[\pmb{a}]^\mathsf{E}}^\top[\pmb{b}]^{\bar{\mathsf{E}}}=\left([\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{F}}[\pmb{a}]^\mathsf{F}\right)^\top[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}[\pmb{b}]^{\bar{\mathsf{F}}}
=\left([\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{F}}[\pmb{a}]^\mathsf{F}\right)^\top[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}[\pmb{b}]^{\bar{\mathsf{F}}}
={[\pmb{a}]^\mathsf{F}}^\top{[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{F}}}^\top[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}[\pmb{b}]^{\bar{\mathsf{F}}}
={[\pmb{a}]^\mathsf{F}}^\top[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}[\pmb{b}]^{\bar{\mathsf{F}}}
\because{[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{F}}}^\top_{ij}=\bar{\pmb{e}}_j\cdot\pmb{f}_i= [\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ij}
={[\pmb{a}]^\mathsf{F}}^\top[\pmb{b}]^{\bar{\mathsf{F}}}
\because [\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}[\pmb{b}]^{\bar{\mathsf{F}}}=[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}F}[\pmb{b}]^{\bar{\mathsf{F}}}=[\pmb{b}]^{\bar{\mathsf{F}}}
任意の基底で等しい値になる
trace (tensor)
\sum_i[\pmb{T}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ii}=\sum_{i,k,l}[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{F}}_{ik}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{F}}_{kl}[\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}_{li}
=\sum_{i,k,l}[\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}_{li}[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{F}}_{ik}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{F}}_{kl}
=\sum_l\left([\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{F}}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{F}}\right)_{ll}
=\sum_l\left([\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{F}}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{F}}\right)_{ll}
=\sum_l[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{F}}_{ll}
=\sum_i[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{F}}_{ii}
2重縮合
\sum_{i,j}[\pmb{T}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ij}[\pmb{S}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ij}
これは\mathrm{Tr}(\pmb{T^\top S})と等しい?
\sum_i[\pmb{T^\top S}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ii}=\sum_i([\pmb{T}^\top]^\mathsf{E\bar{E}}[\pmb{S}]^\mathsf{E\bar{E}})_{ii}
=\sum_{i,j}[\pmb{T}^\top]^\mathsf{E\bar{E}}_{ij}[\pmb{S}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ji}
=\sum_{i,j}{{[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{E}E}}}^\top_{ij}[\pmb{S}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ji}
=\sum_{i,j}{[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{E}E}}_{ij}[\pmb{S}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ij}
等しくないんだが？
縮合の定義を
\pmb{T}:\pmb{S}:=\sum_{i,j}[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{E}E}_{ij}[\pmb{S}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ij}
とするしかないのか。
正規直交基底のときは\sf \bar{E}=Eなので、正規直交基底のときの2重縮合の定義と矛盾しない
また共変成分と反変成分で和をとっているので、共変と反変で打ち消しあえている
これが逆だと、共変と反変とが打ち消し合わずおかしなことになる

まとめ
\mathsf{E}=(\pmb{e}_i)_i,\ \mathsf{F}=(\pmb{f}_i)_iとする
基底の変換
\pmb{f}_i=\sum_j[\pmb{G}]^{-1}_{ji}\pmb{e}_j\implies[\pmb{a}]^\mathsf{F}=[\pmb{G}][\pmb{a}]^\mathsf{E}
1階のtensorの成分表示の座標変換
双対基底vectorの定義
\bar{\pmb{e}}_i:=\sum_j[\pmb{\mathcal{G}}]^{-1}_{ij}\pmb{e}_j
ただし、 [\pmb{\mathcal{G}}]_{ij}:=\pmb{e}_i\cdot\pmb{e}_j
計量行列と呼ぶ
\bar{\pmb{e}}_i\cdot\pmb{e}_j=\llbracket i=j\rrbracket
vector変換の成分表示
\pmb{b}=\pmb{T}\pmb{a}\implies[\pmb{b}]^\mathsf{F}=[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{a}]^\mathsf{E}
これを使うと、計量行列の元の形がわかる
\pmb{a}=\pmb{a}\implies\pmb{a}=\pmb{I}\pmb{a}と[\pmb{a}]^{\bar{\mathsf{E}}}=[\pmb{\mathcal{G}}][\pmb{a}]^\mathsf{E}より[\pmb{\mathcal{G}}]=[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}
座標変換行列は[\pmb{G}]=[\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}になる
vectorの座標変換
[\pmb{a}]^\mathsf{F}=[\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{a}]^\mathsf{E}=[\pmb{I}]^\mathsf{FE}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}[\pmb{a}]^\mathsf{E}
2階のtensorの座標変換
[\pmb{T}]^\mathsf{H\bar{G}}=[\pmb{I}]^\mathsf{H\bar{F}}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{G}}
2階のtensor同士の行列積
\pmb{T}\pmb{S}=\sum_{i,j,k}[\pmb{T}]^\mathsf{G\bar{F}}_{ij}(\pmb{g}_i\otimes\bar{\pmb{f}}_j)[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}_{jk}(\pmb{f}_j\otimes\bar{\pmb{e}}_k)
=\sum_{i,j,k}[\pmb{T}]^\mathsf{G\bar{F}}_{ij}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}_{jk}(\bar{\pmb{f}}_j\cdot\pmb{f}_j)(\pmb{g}_i\otimes\bar{\pmb{e}}_k)
\because(\pmb{a}\otimes\pmb{b})(\pmb{c}\otimes\pmb{d})\pmb{e}=(\pmb{b}\cdot\pmb{c})(\pmb{d}\cdot\pmb{e})\pmb{a}=(\pmb{b}\cdot\pmb{c})(\pmb{a}\otimes\pmb{d})\pmb{e}より(\pmb{a}\otimes\pmb{b})(\pmb{c}\otimes\pmb{d})=(\pmb{b}\cdot\pmb{c})(\pmb{a}\otimes\pmb{d})
=\sum_{i,j,k}[\pmb{T}]^\mathsf{G\bar{F}}_{ij}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}_{jk}(\pmb{g}_i\otimes\bar{\pmb{e}}_k)
\pmb{T}\pmb{S}=\sum_{i,j,k}[\pmb{T}\pmb{S}]^\mathsf{G\bar{E}}_{ik}(\pmb{g}_i\otimes\bar{\pmb{e}}_k)とも書けるから
\therefore[\pmb{T}\pmb{S}]^\mathsf{G\bar{E}}=[\pmb{T}]^\mathsf{G\bar{F}}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}
2階のtensorの成分表示の性質
[\pmb{T}^{-1}]^\mathsf{FE}={[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{E}\bar{F}}}^{-1}
基底を交換して双対に取り替える
[\pmb{T}^\top]^\mathsf{FE}={[\pmb{T}]^\mathsf{EF}}^\top
基底を交換するだけ
2階恒等tensorの成分表示の性質
\pmb{I}=\sum_{i,j}(\pmb{e}_i\cdot\pmb{f}_j)\bar{\pmb{e}}_i\otimes\bar{\pmb{f}}_j
証明
(\pmb{a}\otimes\pmb{b})(\pmb{c}\otimes\pmb{d})=(\pmb{b}\cdot\pmb{c})(\pmb{a}\otimes\pmb{d})を使う
\sum_{i,j}(\pmb{e}_i\cdot\pmb{f}_j)\bar{\pmb{e}}_i\otimes\bar{\pmb{f}}_j
=\sum_{i,j}(\bar{\pmb{e}}_i\otimes\pmb{e}_i)(\pmb{f}_j\otimes\bar{\pmb{f}}_j)
=\left(\sum_i\bar{\pmb{e}}_i\otimes\pmb{e}_i\right)\left(\sum_i\pmb{f}_i\otimes\bar{\pmb{f}}_i\right)
=\pmb{I}\pmb{I}
\because \sum_i\bar{\pmb{e}}_i\otimes\pmb{e}_i=\sum_{i,j}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}E}\bar{\pmb{e}}_i\otimes\pmb{e}_j=\pmb{I}
\underline{=\pmb{I}\quad}_\blacksquare
基底変換tensorとの比較
『非線形有限要素法のための連続体力学(第2版)』では\pmb{f}_i=\pmb{Q}\pmb{e}_iという変換を施すtensorを定義していた
これは\pmb{Q}:=\sum_{i,j}(\pmb{e}_i\cdot\pmb{f}_j)\bar{\pmb{e}}_i\otimes\bar{\pmb{e}}_j=\sum_{i,j}(\bar{\pmb{e}}_i\otimes\pmb{e}_i)(\pmb{f}_j\otimes\bar{\pmb{e}}_j)=\sum_i\pmb{f}_i\otimes\bar{\pmb{e}}_iである
{[\pmb{I}]^\mathsf{FE}}^{-1}=[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{F}}
{[\pmb{I}]^\mathsf{FE}}^\top= [\pmb{I}]^\mathsf{EF}
ここから、計量行列が対称であることもわかる
{[\pmb{I}]^\mathsf{EE}}^\top= [\pmb{I}]^\mathsf{EE}
上2式より、\sf E=\bar{E}\land F=\bar{F}(双方とも正規直交基底)なら{[\pmb{I}]^\mathsf{EF}}^\top= {[\pmb{I}]^\mathsf{EF}}^{-1}が成立し、座標変換行列が直交行列になることがわかる
[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ij}=\llbracket i=j\rrbracket
双対の双対は元の基底vector

cross積と交代tensor
交代tensor\pmb{\mathcal{W}}の定義
\pmb{a}\times\pmb{b}=(\pmb{\mathcal{W}}\pmb{a})\pmb{b}\quad\text{.for}\forall\pmb{a},\pmb{b}
vectorからそのvectorのCross積の行列展開を出力する3階のtensor
これ以降はLevi-Civita記号を使わないと厳しいか
読みにくいのであんまり手を出したくないのだがtakker
三次元のとき、\pmb{a}\times\pmb{b}=\pmb{a}\wedge\pmb{b}？
\sf Eを3次元正規直交基底とするとき、
\pmb{a}\wedge\pmb{b}=\sum_{i,j}[\pmb{a}]^\mathsf{E}_i\pmb{e}_i\wedge[\pmb{b}]^\mathsf{E}_j\pmb{e}_j
=\sum_{i,j}[\pmb{a}]^\mathsf{E}_i[\pmb{b}]^\mathsf{E}_j(\pmb{e}_i\otimes\pmb{e}_j-\pmb{e}_j\otimes\pmb{e}_i)
=\sum_{i,j}[\pmb{a}]^\mathsf{E}_i[\pmb{b}]^\mathsf{E}_j\pmb{e}_i\otimes\pmb{e}_j-\sum_{i,j}[\pmb{a}]^\mathsf{E}_i[\pmb{b}]^\mathsf{E}_j\pmb{e}_j\otimes\pmb{e}_i
=\sum_{i,j}[\pmb{a}]^\mathsf{E}_i[\pmb{b}]^\mathsf{E}_j\pmb{e}_i\otimes\pmb{e}_j-\sum_{i,j}[\pmb{a}]^\mathsf{E}_j[\pmb{b}]^\mathsf{E}_i\pmb{e}_i\otimes\pmb{e}_j
=\sum_{i,j}([\pmb{a}]^\mathsf{E}_i[\pmb{b}]^\mathsf{E}_j-[\pmb{a}]^\mathsf{E}_j[\pmb{b}]^\mathsf{E}_i)\pmb{e}_i\otimes\pmb{e}_j
=([\pmb{a}]^\mathsf{E}_0[\pmb{b}]^\mathsf{E}_1-[\pmb{a}]^\mathsf{E}_1[\pmb{b}]^\mathsf{E}_0)\pmb{e}_0\otimes\pmb{e}_1+([\pmb{a}]^\mathsf{E}_1[\pmb{b}]^\mathsf{E}_2-[\pmb{a}]^\mathsf{E}_2[\pmb{b}]^\mathsf{E}_1)\pmb{e}_1\otimes\pmb{e}_2+([\pmb{a}]^\mathsf{E}_2[\pmb{b}]^\mathsf{E}_0-[\pmb{a}]^\mathsf{E}_0[\pmb{b}]^\mathsf{E}_2)\pmb{e}_2\otimes\pmb{e}_0\\-([\pmb{a}]^\mathsf{E}_0[\pmb{b}]^\mathsf{E}_1-[\pmb{a}]^\mathsf{E}_1[\pmb{b}]^\mathsf{E}_0)\pmb{e}_1\otimes\pmb{e}_0-([\pmb{a}]^\mathsf{E}_1[\pmb{b}]^\mathsf{E}_2-[\pmb{a}]^\mathsf{E}_2[\pmb{b}]^\mathsf{E}_1)\pmb{e}_2\otimes\pmb{e}_1-([\pmb{a}]^\mathsf{E}_2[\pmb{b}]^\mathsf{E}_0-[\pmb{a}]^\mathsf{E}_0[\pmb{b}]^\mathsf{E}_2)\pmb{e}_0\otimes\pmb{e}_2
一致しないじゃんtakker

まだやっていないこと
高階(反)対称tensorとLevi-Civita記号

いろいろな高階tensor
偏差tensoretc.
nablaの座標変換
基底vectorの微分
\frac{\partial\pmb{e}_i}{\partial x_j}=\sum_k\left[\frac{\partial\pmb{e}_i}{\partial x_j}\right]^\mathsf{E}_k\pmb{e}_k
\Gamma(j,i)_k:=\left[\frac{\partial\pmb{e}_i}{\partial x_j}\right]^\mathsf{E}_kとする
Christoffel記号
\Gammaを求める
\frac{\partial\pmb{e}_i}{\partial x_j}=\frac{\partial^2\pmb{r}}{\partial x_j\partial x_i}=\frac{\partial^2\pmb{r}}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{\partial\pmb{e}_j}{\partial x_i}より\Gamma(j,i)_k=\Gamma(i,j)_k
\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ij}}{\partial x_k}=\pmb{e}_i\cdot\frac{\partial\pmb{e}_j}{\partial x_k}+\pmb{e}_j\cdot\frac{\partial\pmb{e}_i}{\partial x_k}
=\sum_l\Gamma(k,j)_l\pmb{e}_l\cdot\pmb{e}_i+\sum_l\Gamma(k,i)_l\pmb{e}_l\cdot\pmb{e}_j
\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{jk}}{\partial x_i}=\sum_l\Gamma(i,k)_l\pmb{e}_l\cdot\pmb{e}_j+\sum_l\Gamma(i,j)_l\pmb{e}_l\cdot\pmb{e}_k
\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ki}}{\partial x_j}=\sum_l\Gamma(j,i)_l\pmb{e}_l\cdot\pmb{e}_k+\sum_l\Gamma(j,k)_l\pmb{e}_l\cdot\pmb{e}_i
それぞれ和をとったり引いたりすると
\sum_l\Gamma(j,i)_l\pmb{e}_l\cdot\pmb{e}_k=\frac12\left(\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{jk}}{\partial x_i}+\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ki}}{\partial x_j}-\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ij}}{\partial x_k}\right)
\implies\sum_l\Gamma(j,i)_l[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{lk}=\frac12\left(\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{jk}}{\partial x_i}+\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ki}}{\partial x_j}-\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ij}}{\partial x_k}\right)
\because\pmb{e}_l\cdot\pmb{e}_k=[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{lk}
\implies\sum_{k,l}\Gamma(j,i)_l[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{lk}[\pmb{I}]^\mathsf{EE}_{kh}=\frac12\sum_k[\pmb{I}]^\mathsf{EE}_{kh}\left(\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{jk}}{\partial x_i}+\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ki}}{\partial x_j}-\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ij}}{\partial x_k}\right)
\implies\Gamma(j,i)_l=\frac12\sum_k[\pmb{I}]^\mathsf{EE}_{kl}\left(\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{jk}}{\partial x_i}+\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ki}}{\partial x_j}-\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ij}}{\partial x_k}\right)
\therefore\Big[\frac{\partial\pmb{e}_i}{\partial x_j}\Big]^\mathsf{E}_l=\frac12\sum_k[\pmb{I}]^\mathsf{EE}_{kl}\left(\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{jk}}{\partial x_i}+\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ki}}{\partial x_j}-\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ij}}{\partial x_k}\right)
もし座標変換行列が定数なら、\Big[\frac{\partial\pmb{e}_i}{\partial x_j}\Big]^\mathsf{E}=0である
座標変換した基底vectorの微分
\pmb{f}_i=\sum_j[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ij}\pmb{e}_jのとき
\def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\pdev{\pmb{f}_i}{f_j}=\sum_{k,l}\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}\pmb{e}_k}{e_l}\pdev{e_l}{f_j}
\def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}=\sum_{k,l}\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}\pmb{e}_k}{e_l}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}
\because[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}=\frac{\partial e_l}{\partial f_j}
\def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}=\sum_{k,l}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}\pdev{\pmb{e}_k}{e_l}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}+\sum_{k,l}\pmb{e}_k\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}}{e_l}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}
\def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}=\sum_{k,l,m,n}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}[\pdev{\pmb{e}_k}{e_l}]^\mathsf{E}_m[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{mn}\pmb{f}_n[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}+\sum_{k,l,m}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{km}\pmb{f}_m\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}}{e_l}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}
\def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}=\sum_{k,l,m,n}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}[\pdev{\pmb{e}_k}{e_l}]^\mathsf{E}_n[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{nm}\pmb{f}_m[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}+\sum_{k,l,m}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{km}\pmb{f}_m\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}}{e_l}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}
\def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}=\sum_{k,l,m,n}\left([\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}[\pdev{\pmb{e}_k}{e_l}]^\mathsf{E}_n[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{nm}+[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{km}\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}}{e_l}\right)[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}\pmb{f}_m
\def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\implies\Big[\pdev{\pmb{f}_i}{f_j}\Big]^\mathsf{F}_m=\sum_{k,l,n}\left([\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}[\pdev{\pmb{e}_k}{e_l}]^\mathsf{E}_n[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{nm}+[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{km}\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}}{e_l}\right)[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}
[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{km}もくくり出せるよう添字を貼り替えれば、これでもうまく変換式を導出できたんじゃないかな？takker
うまくいかない。方針を変えて\pmb{e}で分解してみるか
\def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\sum_{k,l}\Big[\pdev{\pmb{f}_i}{f_j}\Big]^\mathsf{F}_k[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{kl}\pmb{e}_l=\sum_{k,l,m}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}[\pdev{\pmb{e}_k}{e_l}]^\mathsf{E}_m\pmb{e}_m[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}+\sum_{k,l}\pmb{e}_k\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}}{e_l}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}
\def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}=\sum_{k,l,m}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{im}[\pdev{\pmb{e}_m}{e_l}]^\mathsf{E}_k\pmb{e}_k[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}+\sum_{k,l}\pmb{e}_k\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}}{e_l}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}
\def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}=\sum_{k,l,m}\left([\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{im}[\pdev{\pmb{e}_m}{e_l}]^\mathsf{E}_k+\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}}{e_l}\right)[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}\pmb{e}_k
\implies\def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\sum_l\Big[\pdev{\pmb{f}_i}{f_j}\Big]^\mathsf{F}_l[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{lk}=\sum_{l,m}\left([\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{im}[\pdev{\pmb{e}_m}{e_l}]^\mathsf{E}_k+\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}}{e_l}\right)[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}
\def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}=\sum_{l,m}\left([\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{im}[\pdev{\pmb{e}_m}{e_l}]^\mathsf{E}_k[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}+\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}}{f_j}\right)
\def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}=\sum_{l,m}\left([\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{im}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}[\pdev{\pmb{e}_m}{e_l}]^\mathsf{E}_k+\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}}{f_j}\right)
[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{kn}を両辺にかけ、 [\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{lk}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{kn}=\llbracket l=n\rrbracketを適用すると、変換式が完成する
\underline{\def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\Big[\pdev{\pmb{f}_i}{f_j}\Big]^\mathsf{F}_n=\sum_{k,l,m}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{kn}\left([\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{im}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}\Big[\pdev{\pmb{e}_m}{e_l}\Big]^\mathsf{E}_k+\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}}{f_j}\right)}
テンソル談議の添字に合わせると↓になる
\def\pdv#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\def\coef#1#2{{\left[#1\right]}^\mathsf{#2}}\coef{\pdv{\pmb{f}_i}{f_j}}{F}_r=\sum_{k,l,m}\coef{\pmb{I}}{\bar{E}F}_{lr}\left(\coef{\pmb{I}}{\bar{F}E}_{jm}\coef{\pmb{I}}{\bar{F}E}_{ik}\coef{\pdv{\pmb{e}_k}{e_m}}{E}_l+\pdv{\coef{\pmb{I}}{\bar{F}E}_{il}}{f_j}\right)
共変微分
vectorの成分表示を微分する
\def\coef#1#2{{\left[#1\right]}^\mathsf{#2}}\coef{\pmb{a}}{F}=\coef{I}{F\bar{E}}\coef{\pmb{a}}{E}
\implies\def\pdv#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\def\coef#1#2{{\left[#1\right]}^\mathsf{#2}}\pdv{\coef{\pmb{a}}{F}_i}{f_j}=\sum_k\left(\pdv{\coef{\pmb{I}}{F\bar{E}}_{ik}}{f_j}\coef{\pmb{a}}{E}_k+\coef{\pmb{I}}{F\bar{E}}_{ik}\pdv{\coef{\pmb{a}}{E}_k}{f_j}\right)
こまった。これ以上展開できない
Christoffel記号の座標変換をもっと調べる必要がある
一旦そろそろ、知見をページごとに書き出すべきか

マクロ
偏微分： \def\pdv#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
physics packageに準拠
tensorの成分表示： \def\coef#1#2{{\left[\pmb{#1}\right]}^\mathsf{#2}}
coefficient(係数)の意味


さすがにページが重くなってきたtakker
切り出そうかな？

2022-10-17 16:14:24 やり直し
tensorの成分表示式を導出し直す

今度こそテンソルの共変・反変を理解する(ベクトル編) - ペンギンは空を飛ぶ
共変と反変の話がわかりやすそう

#2023-06-09 03:01:59
#2023-04-02 08:11:02
#2022-10-17 16:14:19
#2022-09-23 08:37:44
#2022-07-16 11:34:35
#2022-07-13 09:43:21
#2022-06-16 21:05:25
#2022-06-09 21:12:01
#2022-06-05 15:16:02
#2022-06-04 04:35:39
#2022-06-03 16:49:51
#2022-06-02 20:08:33
#2022-06-01 04:45:38
#2022-05-31 14:09:31
#2022-05-30 07:02:40
#2022-05-29 20:49:57