nablaの座標変換
まとめ
nablaの成分は任意の基底\sf Eにて以下のように表される
\pmb{\nabla}=\sum_i\pmb{e}_i\frac{\partial}{\partial e_i}
座標変換
別の成分への変換
\frac{\partial}{\partial \bar{f}_i}=[\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}_{ij}\frac{\partial}{\partial \bar{e}_j}
通常の座標変換と同じ
同じパラメタで表す
\pmb{\nabla}=\sum_i\bar{\pmb{e}}_i\frac{\partial}{\partial \bar{e}_i}=\sum_i\frac{\partial\pmb{r}}{\partial e_i}\frac{\partial}{\partial \bar{e}_i}
偏微分がe_iと\bar e_iの混合になってしまっている
これを共変か反変に統一する
=\sum_i\bar{\pmb{e}}_i[\pmb{I}]^\mathsf{EE}_{ij}\frac{\partial}{\partial e_j}=\sum_i\frac{\partial\pmb{r}}{\partial e_i}[\pmb{I}]^\mathsf{EE}_{ij}\frac{\partial}{\partial e_j}
共変計量行列でe_iにそろえた例
成分表示
Laplacian：自然基底におけるLaplacianの成分表示
曲線座標での微積分
\mathrm{d}\pmb{r}=\sum_i\frac{\partial\pmb{r}}{\partial e_i}\mathrm{d}e_i=:\sum_i\bar{\pmb{e}}_i\mathrm{d}e_i
[\mathrm{d}\pmb r]^{\sf E}_i=\mathrm{d}e_iと書ける
パラメタe_0,e_1,\cdots,e_nで表現される座標系があったとき、位置\pmb{r}(e_0,e_1,\cdots,e_n)での基底に\bar{\pmb{e}}_i:(e_0,e_1,\cdots,e_n)\mapsto\frac{\partial\pmb{r}}{\partial e_i}を採用できる
e_i以外を固定した曲線上の接線vector
\bar{\pmb e}_iを自然基底と呼ぶ
\bar{}を付けたのは、パラメタが分母にくると、双対をとったのと同じ効果が現れるから
\bullet^{-1}と\bar{\bullet}が等価
共変基底を表せるパラメタ\bar e_iを用意しておく
\mathrm{d}\pmb{r}=\sum_i\frac{\partial\pmb{r}}{\partial \bar{e}_i}\mathrm{d}\bar{e}_i=:\sum_i\pmb{e}_i\mathrm{d}\bar{e}_i
双対パラメタ\bar e_iの導出
{\rm d}\bar e_iの導出
[\pmb I]^{\sf EF}_{ij}=\pmb e_i\cdot\pmb f_jより、
\frac{\partial\bar e_i}{\partial e_j}=[\pmb I]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}=\bar{\pmb e}_i\cdot\bar{\pmb e}_j=\frac{\partial\pmb r}{\partial e_i}\cdot\frac{\partial\pmb r}{\partial e_j}
だから、
{\rm d}\bar e_i=\sum_j\frac{\partial\pmb r}{\partial e_i}\cdot\frac{\partial\pmb r}{\partial e_j}{\rm d}e_j=\bar{\pmb e}_i\cdot{\rm d}\pmb r=[{\rm d}\pmb r]^{\sf\bar E}_i
\frac{\partial}{\partial\bar e_i}の導出
\frac{\partial}{\partial\bar e_i}=\sum_j\frac{\partial e_j}{\partial\bar e_i}\frac{\partial}{\partial e_j}=\sum_j[\pmb I]^{\sf EE}_{ij}\frac{\partial}{\partial e_j}
nablaの座標変換
[\pmb{\nabla}]^\mathsf{\bar{F}}=[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}[\pmb{\nabla}]^\mathsf{\bar{E}}
よって、
[\pmb{\nabla}]^\mathsf{F}_i=\sum_j[\pmb{I}]^\mathsf{FF}_{ij}\frac{\partial}{\partial f_j}
変換後の基底の計量行列をかければいい？
\pmb{f}_iの成分を\bar{f}_iではなくf_iで表していいのか？
2022-10-24 10:01:45 この疑問は重要
\bar{f}_iで微分する方針で計算すると、任意の基底\sf Fにて\sf Eと同じ形式でnablaを記述できることを示せるはず
仮説：\pmb{\nabla}=\sum_i\pmb{f}_i\frac{\partial}{\partial f_i}
\therefore [\pmb{\nabla}]^\mathsf{\bar{F}}_i=\frac{\partial}{\partial f_i}
とはいえ、これでたとえば極座標のnablaが導出できるのも事実
例：円筒座標のnablaの成分を導く
(x,r,\theta)\mapsto(x, r\cos\theta,r\sin\theta)とすると、
\pmb{f}_0=\pmb{e}_0
\pmb{f}_1=\pmb{e}_1\cos\theta+\pmb{e}_2\sin\theta
\pmb{f}_2=-r\pmb{e}_1\sin\theta+r\pmb{e}_2\cos\theta
\therefore [\pmb{\nabla}]^\mathsf{F}=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial r},\frac1{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)^\top
\because \pmb{f}_0\bot\pmb{f}_1\land\pmb{f}_1\bot\pmb{f}_2\land\pmb{f}_2\bot\pmb{f}_0
基底を正規化すると
\pmb{\nabla}=\pmb{f}_0\frac{\partial}{\partial x}+\pmb{f}_1\frac{\partial}{\partial r}+\hat{\pmb{f}_2}\frac1r\frac{\partial}{\partial \theta}
になる
一般化すると
\pmb{\nabla}=\sum_i\pmb{e}_i\frac{\partial}{\partial e_i}=\sum_{i,j,k}[\pmb{I}]^\mathsf{EG}_{ij}\bar{\pmb{g}}_j[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{ik}\frac{\partial}{\partial f_k}
\therefore[\pmb{\nabla}]^\mathsf{G}_i=\sum_j[\pmb{I}]^\mathsf{GF}_{ij}\frac{\partial}{\partial f_j}
任意の基底で\pmb{\nabla}=\sum_i\pmb{f}_i\frac{\partial}{\partial f_i}であることを使う
\pmb{\nabla}\pmb{a}=\sum_{i,j}\pmb{f}_i\frac{\partial[\pmb{a}]^\mathsf{\bar{G}}_j\pmb{g}_j}{\partial f_i}
=\sum_{i,j}\pmb{f}_i\pmb{g}_j\frac{\partial[\pmb{a}]^\mathsf{\bar{G}}_j}{\partial f_i}+\pmb{f}_i\pmb{\Gamma}^\mathsf{\bar{F}G}_{ij}[\pmb{a}]^\mathsf{\bar{G}}_j
今名付けた！
\therefore [\pmb{\nabla}\pmb{a}]^\mathsf{\bar{F}\bar{G}}_{ij}=\frac{\partial[\pmb{a}]^\mathsf{\bar{G}}_j}{\partial f_i}+\sum_k\pmb{\Gamma}^\mathsf{\bar{F}G}_{ik}\cdot\bar{\pmb{g}}_j[\pmb{a}]^\mathsf{\bar{G}}_k
これが共変微分に相当する……っぽい？
違うっぽい……
EMANの物理学では-をつけている
定tensorの微分が0になるような形式を見つければいいのか？
[\pmb{\nabla}\pmb{a}]^\mathsf{F\bar{F}}_{ij}=\left[\frac{\partial\pmb{a}}{\partial\bar{f}_i}\right]^\mathsf{\bar{F}}_j=a^j|_i=a^j_{;i}=a^j\overleftarrow{\nabla}_i=\overrightarrow{\nabla}_ia^j
としている
[\pmb{\nabla}\pmb{a}]^\mathsf{F\bar{F}}_{ij}=\overrightarrow{\nabla}_ia^jの対応がわかりやすい
双対記号を外すとこんな感じ
[\pmb{\nabla}\pmb{a}]^\mathsf{FG}_{ij}=\frac{\partial[\pmb{a}]^\mathsf{G}_j}{\partial \bar{f}_i}+\sum_k\pmb{\Gamma}^\mathsf{F\bar{G}}_{ik}\cdot\pmb{g}_j[\pmb{a}]^\mathsf{G}_k
以前の計算メモ
基底の変換
\pmb{e}_i=\frac{\partial\pmb{r}}{\partial x_i}=\sum_j\frac{\partial\pmb{r}}{\partial y_j}\frac{\partial y_j}{\partial x_i}=\sum_j\frac{\partial y_j}{\partial x_i}\pmb{f}_j
よって、\mathsf{E}:=(\pmb{e}_i)_i,\ \mathsf{F}:=(\pmb{f}_i)_iについて、
[\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}_{ij}=\frac{\partial y_i}{\partial x_j}
\because\pmb{e}_i=\sum_j{[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{F}}}^{-1}_{ji}\pmb{f}_j
[\pmb{a}]^\mathsf{\bar{E}}_i=\sum_j [\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ij}[\pmb{a}]^\mathsf{E}_j
[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ij}=\pmb{e}_i\cdot\pmb{e}_j=\frac{\partial\pmb{r}}{\partial x_i}\cdot\frac{\partial\pmb{r}}{\partial x_j}
scalar場の微分
\frac{\partial\phi}{\partial x_i}=\sum_j\frac{\partial y_j}{\partial x_i}\frac{\partial\phi}{\partial y_j}=\sum_j[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{ij}\frac{\partial\phi}{\partial y_j}
\mathsf{E}が標準基底のとき、\pmb{\nabla}\phi=\sum_i \frac{\partial\phi}{\partial x_i}\pmb{e}_i であるから
[\pmb{\nabla}\phi]^\mathsf{E}_i=\frac{\partial\phi}{\partial x_i}
そのとき[\pmb{\nabla}\phi]^\mathsf{F}_i=\sum_j[\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}_{ij}[\pmb{\nabla}\phi]^\mathsf{E}_j=\sum_{j,k}[\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}_{ij}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{jk}\frac{\partial\phi}{\partial y_k}となる？
これあってんのか？
対応がわかりやすいよう、x,yをe,fに変える
\pmb{e}_i=\sum_j\frac{\partial f_j}{\partial e_i}\pmb{f}_j=\sum_j{[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{F}}}^{-1}_{ji}\pmb{f}_j=\sum_j[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{ij}\pmb{f}_j
\therefore[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{ij}=\frac{\partial f_j}{\partial e_i}
\frac{\partial\phi}{\partial e_i}=\sum_j[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{ij}\frac{\partial\phi}{\partial f_j}
具体例で考えるべきだな
極座標への変換を試してみる
\sf Eを標準基底、\sf Fを2次元極座標とする
[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{F}}を求める
\pmb{r}=f_0\cos f_1\pmb{e}_0+f_0\sin f_1\pmb{e}_1極座標での位置
\sf Fの基底vectorへの変換
\pmb{f}_0=\cos f_1\pmb{e}_0+\sin f_1\pmb{e}_1
\pmb{f}_1=-f_0\sin f_1\pmb{e}_0+f_0\cos f_1\pmb{e}_1
一般的な極座標の基底vectorの定義とは違って、f_0を除していない点に注意
正規直交基底の性質は\sf Eのほうしか使わないので、\sf Fは正規直交基底でなくても式展開に支障はない
これと\pmb{f}_i=\sum_j[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ij}\pmb{e}_jより
[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}=\begin{pmatrix}\cos f_1&\sin f_1\\-f_0\sin f_1&f_0\cos f_1\end{pmatrix}
\iff[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}=\frac{1}{f_0}\begin{pmatrix}f_0\cos f_1&-\sin f_1\\f_0\sin f_1&\cos f_1\end{pmatrix}
[\pmb{\nabla}\phi]^\mathsf{F}_i=\sum_{j,k}[\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}_{ij}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{jk}\frac{\partial\phi}{\partial f_k}=\sum_{j,k}{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}}^\top_{ij}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{jk}\frac{\partial\phi}{\partial f_k}を検証する
[\pmb{\nabla}\phi]^\mathsf{F}=\frac{1}{f_0}\begin{pmatrix}f_0\cos f_1&f_0\sin f_1\\-\sin f_1&\cos f_1\end{pmatrix}\frac{1}{f_0}\begin{pmatrix}f_0\cos f_1&-\sin f_1\\f_0\sin f_1&\cos f_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{\partial\phi}{\partial f_0}\\\frac{\partial\phi}{\partial f_1}\end{pmatrix}
=\frac{1}{{f_0}^2}\begin{pmatrix}{f_0}^2&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{\partial\phi}{\partial f_0}\\\frac{\partial\phi}{\partial f_1}\end{pmatrix}
\underline{=\begin{pmatrix}\frac{\partial\phi}{\partial f_0}\\\frac{1}{{f_0}^2}\frac{\partial\phi}{\partial f_1}\end{pmatrix}\quad}
うん。間違っている。めちゃくちゃな値になってしまう
これ以上は手書きしないと謎を解明できなそう
かなり複雑な式になってきた
TeXベタ書きでは限界だ
2次元極座標におけるベクトル演算子にある式を手でなぞって、↑に書いた式との対応関係を調べる
そうすればどこでミスがあるか判明するだろう
↑と比べたら修正できた
転置・逆行列と基底の交換演算のミスだった
再計算したら極座標の勾配の式と一致した
f_0がrに、f_1が\thetaに相当する
\frac{1}{{f_1}^2}なのは\pmb{f}_1にf_0が含まれているため
まとめ
[\pmb{\nabla}\phi]^\mathsf{F}_i=\sum_{j,k}{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}}^\top_{ij}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{jk}\frac{\partial\phi}{\partial f_k}
ただし、\sf Eは正規直交基底
\frac{\partial\phi}{\partial e_i}=\sum_j[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{ij}\frac{\partial\phi}{\partial f_j}
#2024-02-22 10:46:58
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