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Christoffel vector
\pmb{\Gamma}^\mathsf{EF}_{ij}:=\frac{\partial \pmb{f}_j}{\partial \bar{e}_i}
記号はtensorの成分表示を参照
Christoffel記号をvectorにしたもの

Christoffel記号との関係
{\Gamma_{ij}}^k={k\brace i\ j}=\pmb{\Gamma}^\mathsf{EE}_{ij}\cdot\bar{e}_k

直線基底だと空間微分に対して\pmb e_\bullet=\rm const.だから、\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij}=\pmb0となる

性質
対称性
\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij}=\frac{\partial \pmb{f}_j}{\partial \bar{e}_i}=\frac{\partial^2\pmb r}{\partial\bar{e}_i\partial\bar f_j}=\frac{\partial^2\pmb r}{\partial\bar{f}_j\partial\bar e_i}=\frac{\partial \pmb{e}_i}{\partial \bar{f}_j}=\pmb\Gamma^{\sf FE}_{ji}
偏微分の交換法則が成立する場合のみ(普通は成立する)

Christoffel vectorを計量行列で表す
\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij}=\frac12\bar{\pmb g}_k\left(\frac{\partial[\pmb I]^{\sf FG}_{jk}}{\partial \bar e_i}+\frac{\partial[\pmb I]^{\sf GE}_{ki}}{\partial \bar f_j}-\frac{\partial[\pmb I]^{\sf EF}_{ij}}{\partial \bar g_k}\right)

双対の変換
\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{ij}=-\bar{\pmb e}_k\bar{\pmb e}_i\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj}
\because0=\frac{\partial\pmb e_i\cdot\bar{\pmb e}_j}{\partial\bar e_k}=\pmb e_i\cdot\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{jk}+\bar{\pmb e}_j\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}
\implies\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{jk}=-\bar{\pmb e}_i\bar{\pmb e}_j\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}
二重直交性がベース
\pmb e_i\cdot\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{jk}=-\bar{\pmb e}_j\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}とも書ける

座標変換
\pmb\Gamma^{\sf GH}_{ij}=[\pmb I]^{\sf G\bar E}_{ik}\pmb\Gamma^{\sf EF}_{kl}[\pmb I]^{\sf\bar FH}_{lj}
2024-01-27 18:27:18 共変パラメタが存在しないときは成立しない
曲率tensorが求まらなかったのはこの誤解のせい
あとで書き直す

共変微分
テンソル談義からトレース
[\pmb I]^{\sf F\bar F}_{jr}+\pmb\Gamma^{\sf FF}_{ji}[\pmb v]^{\sf \bar F}_i\cdot\bar{\pmb f}_r=[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{jm}\left([\pmb I]^{\sf E\bar E}_{ml}+\pmb\Gamma^{\sf EE}_{mk}[\pmb v]^{\sf \bar E}_k\cdot\bar{\pmb e}_l\right)[\pmb I]^{\sf E\bar F}_{lr}
こう導出できる
[\pmb I]^{\sf F\bar F}_{jr}+\pmb\Gamma^{\sf FF}_{ji}[\pmb v]^{\sf \bar F}_i\cdot\bar{\pmb f}_r
=[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{jm}\left([\pmb I]^{\sf E\bar F}_{mr}+\pmb\Gamma^{\sf EF}_{mi}[\pmb v]^{\sf \bar F}_i\cdot\bar{\pmb f}_r\right)
=[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{jm}\left([\pmb I]^{\sf E\bar F}_{mr}+\pmb\Gamma^{\sf EF}_{mi}[\pmb I]^{\sf \bar FE}_{ik}[\pmb v]^{\sf \bar E}_k\cdot\bar{\pmb f}_r\right)
=[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{jm}\left([\pmb I]^{\sf E\bar E}_{ml}[\pmb I]^{\sf E\bar F}_{lr}-\pmb\Gamma^{\sf EE}_{mk}[\pmb v]^{\sf \bar E}_k\cdot\bar{\pmb e}_l[\pmb I]^{\sf E\bar F}_{lr}\right)
=[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{jm}\left([\pmb I]^{\sf E\bar E}_{ml}-\pmb\Gamma^{\sf EE}_{mk}[\pmb v]^{\sf\bar E}_k\cdot\bar{\pmb e}_l\right)[\pmb I]^{\sf E\bar F}_{lr}
(i,kで和をとる)
2階tensorの座標変換式と一致することから、[\pmb I]^{\sf E\bar E}_{ml}+\pmb\Gamma^{\sf EE}_{mk}[\pmb v]^{\sf \bar E}_k\cdot\bar{\pmb e}_lを何らかの2階tensor\pmb Tを用いて[\pmb T]^{\sf E\bar E}_{ml}と表せることがわかる
変換法則でtensorを定義する理由がちょっとわかった気がするtakker
\pmb T=\sum_{k,l,m}\left([\pmb I]^{\sf E\bar E}_{ml}+\pmb\Gamma^{\sf EE}_{mk}[\pmb v]^{\sf \bar E}_k\cdot\bar{\pmb e}_l\right)\bar{\pmb e}_m\pmb e_l
=\sum_{k,l,m}\left(\pmb e_m\bar{\pmb e}_m+\bar{\pmb e}_m\pmb\Gamma^{\sf EE}_{mk}[\pmb v]^{\sf \bar E}_k\right)
= \pmb I+\sum_k[\pmb v]^{\sf \bar E}_k(\pmb\nabla\pmb e_k)
= \pmb I+\pmb v\cdot\sum_k\bar{\pmb e}_k(\pmb\nabla\pmb e_k)
恒等tensorを\pmb Tに入れる必要があるのだろうか？
[\pmb\nabla\pmb v]^{\sf EF}_{ij}=\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_i}\cdot\pmb f_j=\frac{\partial[\pmb v]^{\sf F}_j}{\partial\bar e_i}-\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij}\cdot\pmb{v}

\pmb\nabla\cdot\pmb A=\pmb e_i\cdot\frac{\partial\pmb A}{\partial e_i}=\frac{\partial[\pmb A]^{\sf EF}_{ij}\bar{\pmb f}_j}{\partial e_i}-\pmb\Gamma^{\sf \bar EE}_{ii}\cdot\pmb A=\frac{\partial[\pmb A]^{\sf EF}_{ij}}{\partial e_i}\bar{\pmb f}_j+[\pmb A]^{\sf EF}_{ij}\pmb\Gamma^{\sf\bar E\bar F}_{ij}-\pmb\Gamma^{\sf \bar EE}_{ii}\cdot\pmb A
=\pmb\Gamma^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\cdot\pmb e_i[\pmb A]^{\sf EF}_{jk}\bar{\pmb f}_k+\frac{\partial[\pmb A]^{\sf EF}_{ik}}{\partial e_i}\bar{\pmb f}_k+[\pmb A]^{\sf EF}_{ik}\pmb\Gamma^{\sf\bar E\bar F}_{ik}
(abc)'=a(bc)'+a'bc=abc'+ab'c+a'bc=a'bc+ab'c+abc'で展開したver.
同一の式になる
[\pmb\nabla\cdot\pmb A]^{\sf F}_k=\frac{\partial[\pmb A]^{\sf EF}_{ik}}{\partial e_i}+[\pmb A]^{\sf EF}_{ij}\pmb\Gamma^{\sf\bar E\bar F}_{ij}\cdot\pmb f_k-\pmb\Gamma^{\sf \bar EE}_{ii}\cdot\pmb[\pmb A]^{\sf EF}_{jk}\bar{\pmb e}_j
[\pmb\nabla^2\pmb v]^{\sf E}_i=

『物理数学One Point3 物理とテンソル』より
\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar f_i}=\pmb\Gamma^{\sf FE}_{ij}[\pmb v]^{\sf\bar E}_j+\frac{\partial[\pmb v]^{\sf\bar E}_j}{\partial\bar f_i}\pmb e_j
=\left(\pmb\Gamma^{\sf FE}_{ij}[\pmb v]^{\sf\bar E}_j+\frac{\partial[\pmb v]^{\sf\bar E}_j}{\partial\bar f_i}\pmb e_j\right)\cdot\bar{\pmb e}_k\pmb e_k
=\pmb e_k\left(\pmb\Gamma^{\sf FE}_{ij}\cdot\bar{\pmb e}_k+[\pmb I]^{\sf E\bar E}_{jk}\frac{\partial}{\partial\bar f_i}\right)[\pmb v]^{\sf\bar E}_j
=\pmb e_k\left(\pmb\Gamma^{\sf FE}_{ij}\cdot\bar{\pmb e}_k+\llbracket j=k\rrbracket\frac{\partial}{\partial\bar f_i}\right)[\pmb v]^{\sf\bar E}_j
=\pmb e_k\left(\pmb\Gamma^{\sf FE}_{ij}\cdot\bar{\pmb e}_k[\pmb v]^{\sf\bar E}_j+\frac{\partial[\pmb v]^{\sf\bar E}_k}{\partial\bar f_i}\right)
\therefore \bar{\pmb e}_k\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar f_i}=\left(\pmb\Gamma^{\sf FE}_{ij}\cdot\bar{\pmb e}_k+\llbracket j=k\rrbracket\frac{\partial}{\partial\bar f_i}\right)[\pmb v]^{\sf\bar E}_j

『連続体の力学序説』 p.105より
テキストの(A2.2.3)の式の記号とtakkerの記号を対応させるとこうなる
\nabla_k v^\lambda=\frac{\partial[\pmb v]^{\sf\bar E}_\lambda}{\partial\bar f_k}+\pmb\Gamma^{\sf FE}_{k\mu}\cdot\bar{\pmb e}_\lambda[\pmb v]^{\sf\bar E}_\mu=\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar f_k}\cdot\bar{\pmb e}_\lambda
テキストでは\sf F=Eとしている

『テンソル解析と連続体力学　理工学海外名著シリーズ30』より
v^i|_j=\frac{\partial [\pmb v]^{\sf \bar E}_i}{\partial \bar e_j}+\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}\cdot\bar{\pmb e}_i[\pmb v]^{\sf\bar E}_k=\left[\frac{\partial\pmb{v}}{\partial\bar{e}_j}\right]^\mathsf{\bar{E}}_i=\left[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\right]^\mathsf{\bar{E}E}_{ij}=\left[\pmb\nabla\pmb v\right]^{\sf E\bar E}_{ji}
\pmb vのj方向微分のi成分が、\pmb vのi成分のj方向微分と\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}\cdot\bar{\pmb e}_i[\pmb v]^{\sf\bar E}_kだけ違う

\pmb\nabla\pmb v=\pmb e_i\frac{\partial\pmb v}{\partial e_i}=\frac{\partial\pmb r}{\partial \bar e_i}\frac{\partial\pmb v}{\partial e_i}
\pmb\nabla|\pmb r|=\frac12\frac{1}{|\pmb r|}\left(\pmb e_i\frac{\partial\pmb r}{\partial e_i}\cdot\pmb r+\pmb e_i\pmb r\cdot\frac{\partial\pmb r}{\partial e_i}\right)
= \frac{1}{2|\pmb r|}(\pmb e_i\bar{\pmb e}_i\cdot\pmb r+\pmb e_i\pmb r\cdot\bar{\pmb e}_i)
= \frac{1}{|\pmb r|}\pmb e_i\bar{\pmb e}_i\cdot\pmb r
= \frac{1}{|\pmb r|}\pmb I\cdot\pmb r
= \frac{1}{|\pmb r|}\pmb I\cdot\pmb r
=\hat{\pmb r}
cf. 位置rの微分公式

自然基底における発散の成分表示


発散 (vector解析)\pmb\nabla\cdot\pmb Aはどうなる？
前形 (tensor解析)の場合
\pmb\nabla\cdot\pmb A=\bar{\pmb e}_k\cdot\frac{\partial[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\pmb e_i\pmb e_j}{\partial\bar e_k}
=\bar{\pmb e}_k\cdot\pmb e_i\pmb e_j\frac{\partial[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}}{\partial\bar e_k}+[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\bar{\pmb e}_k\cdot\frac{\partial\pmb e_i}{\partial\bar e_k}\pmb e_j+[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\bar{\pmb e}_k\cdot\pmb e_i\frac{\partial\pmb e_j}{\partial\bar e_k}
=\frac{\partial[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}}{\partial\bar e_i}\pmb e_j+[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\frac{\partial\pmb e_i}{\partial\bar e_k}\cdot\bar{\pmb e}_k\pmb e_j+[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\frac{\partial\pmb e_j}{\partial\bar e_i}
=\frac{\partial[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}}{\partial\bar e_i}\pmb e_j+[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ki}\cdot\bar{\pmb e}_k\pmb e_j+[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}
vectorの発散の式を使えば、もっと簡単に計算できる
\pmb\nabla\cdot\pmb A=\bar{\pmb e}_k\cdot\frac{\partial[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\pmb e_i\pmb e_j}{\partial\bar e_k}
=\bar{\pmb e}_k\cdot\frac{\partial[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\pmb e_i}{\partial\bar e_k}\pmb e_j+[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\bar{\pmb e}_k\cdot\pmb e_i\frac{\partial\pmb e_j}{\partial\bar e_k}
=\left(\pmb\nabla\cdot[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\pmb e_i\right)\pmb e_j+[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\frac{\partial\pmb e_j}{\partial\bar e_i}
= \frac{1}{\sqrt{\det[\pmb I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial \bar e_i}\left([\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\sqrt{\det[\pmb I]^{\sf EE}}\right)\pmb e_j+[\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}
大人しく、こいつの計算方法が載っている資料を探すか……
『テンソル解析と連続体力学　理工学海外名著シリーズ30』か『連続体の力学5 (ベクトル演算と物理成分) 』に載っているはず


Laplacianの座標変換

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