tensorの成分表示
2023-07-24 08:20:18 このページは旧記法で記述されている
そのうち書き直すつもりだが、記号の変遷を書くとこう
初期：[\bm{A}]^\mathcal{ST}_{00}
基底を\mathcalで書いてる
変更1：[\bm{A}]^{\sf ST}_{00}
\mathsfに書体を変えた
\mathcalだと3階以上のtensorの書体とダブってしまうので
ぶっちゃけ書体のダブりは気にしなくてもよかったかも
見た目ではなく、定義を変えた
これでかなり記述ミスが減った
[\bm{A}]^{\mathcal{ST}}_{(i,j)}
tensorと、その成分とを区別するために必要
高校数学だと、この区別ができてなくてつらい
区別しないと、座標変換で成分は変わるがtensorは不変であることを簡潔に示せない
あと(数学科以外の)大学数学でも、2階tensorとその成分表示とが区別できてなくてこれまたつらい
これを使うと恒等tensorの成分表示は座標変換行列だという興味深い性質がわかる
最初に見つけたときは少しテンション上がった
2021-03-07 22:43:16 3階以上のtensorに対しても適用できるか不安になってきた
2階のtensorまでは左と右に作用させれば済んだが、3階以上となると、3つ目の作用をどこに書けば良いのだろうか？
これ勘違い
左と右に作用させるというのは、\pmb{a}\cdot\pmb{T}\pmb{b}のことを言っている
んでこのことはそもそも成分表示と関係ない
3階以上であっても[\pmb{\mathcal{A}}]^\mathcal{STU}_{(i,j,k)}と表示できる
括弧の中に数を並べる記法で表示できないというだけ
3階なら3D行列でなんとか表示できるだろうけど、4階以上はさすがに無理
形式上はできると思うが、だいぶややこしい書き方になりそう
定義
定義というより例示だが、一般的な定義をいきなり示すよりわかりやすいだろう
\mathcal{S}=\{\bm{e}_0,\bm{e}_1,\bm{e}_2\},\mathcal{T}=\{\bm{e'}_0,\bm{e'}_1,\bm{e'}_2\}を任意の基底とする
1階のtensorの場合
\bm{a} = a_0\bm{e}_0+a_1\bm{e}_1+a_2\bm{e}_2= a'_0\bm{e'}_0+a'_1\bm{e'}_1+a'_2\bm{e'}_2のとき
\begin{aligned}[\bm{a}]^\mathcal{S}&=\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\\\end{pmatrix}\\ [\bm{a}]^\mathcal{T}&=\begin{pmatrix}a'_0\\a'_1\\a'_2\\\end{pmatrix}\end{aligned}となる
添字記法もつくった
[\bm{a}]^\mathcal{S}_0=a_0
[\bm{a}]^\mathcal{T}_0=a'_0
2階tensorの場合
\begin{aligned}\bm{A} = &A_{00}\bm{e}_0\otimes\bm{e'}_0+A_{01}\bm{e}_0\otimes\bm{e'}_1+A_{02}\bm{e}_0\otimes\bm{e'}_2+\\&A_{10}\bm{e}_1\otimes\bm{e'}_0+A_{11}\bm{e}_1\otimes\bm{e'}_1+A_{12}\bm{e}_1\otimes\bm{e'}_2+\\&A_{20}\bm{e}_2\otimes\bm{e'}_0+A_{21}\bm{e}_2\otimes\bm{e'}_1+A_{22}\bm{e}_2\otimes\bm{e'}_2\\ = &B_{00}\bm{e'}_0\otimes\bm{e}_0+B_{01}\bm{e'}_0\otimes\bm{e}_1+B_{02}\bm{e'}_0\otimes\bm{e}_2+\\&B_{10}\bm{e'}_1\otimes\bm{e}_0+B_{11}\bm{e'}_1\otimes\bm{e}_1+B_{12}\bm{e'}_1\otimes\bm{e}_2+\\&B_{20}\bm{e'}_2\otimes\bm{e}_0+B_{21}\bm{e'}_2\otimes\bm{e}_1+B_{22}\bm{e'}_2\otimes\bm{e}_2\end{aligned}のとき
\begin{aligned}[\bm{A}]^\mathcal{ST}=&\begin{pmatrix}A_{00}&A_{01}&A_{02}\\A_{10}&A_{11}&A_{12}\\A_{20}&A_{21}&A_{22}\end{pmatrix} \\ [\bm{A}]^\mathcal{TS}=&\begin{pmatrix}B_{00}&B_{01}&B_{02}\\B_{10}&B_{11}&B_{12}\\B_{20}&B_{21}&B_{22}\end{pmatrix}\end{aligned}となる
基底を書く順番はちょっと悩む
昔は逆にしてたみたい
いざとなれば[\bm{A}]^\mathcal{S\leftarrow T}と順番を明示する手もある
添字記法
[\bm{A}]^\mathcal{ST}_{00}=A_{00}
[\bm{A}]^\mathcal{TS}_{00}=B_{00}
3階のtensorの場合
\LaTeXでは書けないので、後ほど手書きする
成分表示が3D行列になる
新たに正規直交基底\mathcal{U}を追加する
単位vectorを表す記号が思いつかないな……
\bm{k}でいいかな？
この記法の欠点
手書きしにくい
画数が多い
書きにくい
手書きの場合は、省略しちゃうのは仕方ないと思う
ただ\LaTeXに書き起こすときは、記号の濫用をせず厳密に書いていきたい
3階以上のtensorを括弧の中に数を並べる記法で表示できない
まあこれはtensorの成分表示とは関係ない
基底の記号
このページは\mathcal時代に書いたもの
そのうち書き直すつもり
a_i\pmb{e}_i\mapsto(a_0,a_1,\cdots)という変換をしているだけだから、任意の基底で成り立つか。
任意のtensorに対して[\bm{A}]^{\mathcal{ST}}_{(i,j)}は存在する。これは1次元線型空間を数vector空間で表現できることに他ならない
References
同じ考え方をしていた
1階のtensorの成分表示は数vectorと呼べば良さそう
この本で、vectorそのものとその成分表示との違いを学んだ
記法を参考にした
このPDFで登場する\rho:V\rightarrow\R^nが[\bullet]^{\mathcal{\bullet\bullet}}に相当する
名前あったんかい！
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