任意の基底によるtensorの座標変換
任意の順序つき基底\mathsf{E}:=(\pmb{e}_i,\cdots,\pmb{e}_n)、\mathsf{F}:=(\pmb{e}_i,\cdots,\pmb{e}_n)、\mathsf{G}:=(\pmb{g}_i,\cdots,\pmb{g}_n)、\mathsf{H}:=(\pmb{h}_i,\cdots,\pmb{h}_n)について、以下が成立する
\pmb{f}_i=\sum_j[\pmb{I}]^\mathsf{F\bar E}_{ij}\pmb{e}_j
[\pmb{a}]^\mathsf{F}=[\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{a}]^\mathsf{E}
[\pmb{T}]^\mathsf{HG}=[\pmb{I}]^\mathsf{H\bar{F}}[\pmb{T}]^\mathsf{FE}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}G}
\pmb{I}は恒等tensor
\pmb e_i=\sum_j[\pmb I]^{\sf EE}_{ij}\bar{\pmb e}_j=\sum_j{[\pmb I]^{\sf\bar E\bar E}}^{-1}_{ij}\bar{\pmb e}_j
[\pmb I]^{\sf \bar E\bar E}_{ij}=\bar{\pmb e}_i\cdot\bar{\pmb e}_jなので、一方の基底だけから双対基底を算定できる式となっている
転置は基底を列ベクトル(\pmb{e}_i,\cdots,\pmb{e}_n)^\topのように計算しているため
行ベクトル(\pmb{e}_i,\cdots,\pmb{e}_n)で考えれば転置は消える
導出
基底：\pmb f_i=\sum_j[\pmb f_i]^{\sf \bar E}_j\pmb e_j=\sum_j(\pmb f_i\cdot\bar{\pmb e}_j)\pmb e_j=\sum_j[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{ij}\pmb{e}_j
ほかの方法もある