Levi-Civita記号
一般の場合
1. 完全反対称性
\epsilon_{\lambda_0\lambda_1\cdots\lambda_i\cdots\lambda_j\cdots\lambda_{n-1}}=-\epsilon_{\lambda_0\lambda_1\cdots\lambda_j\cdots\lambda_i\cdots\lambda_{n-1}}
任意の添え字を入れ替えると符号が反転する
同じ添え字があると0になることは、この性質から導ける
2.\epsilon_{012\cdots n-1}=1
Levi-Civita記号を一意に決定づけるための式
これがない場合は任意定数倍\alpha\epsilon_{\lambda_0\lambda_1\cdots\lambda_{n-1}}が許容される
3階反対称単位テンソルの縮約公式基礎物理から半導体デバイスまで#656ba1861280f000007ecf05では、これを明確にするため単位テンソルと書いている
2階の場合
\epsilon_{01}=1
\epsilon_{10}=-\epsilon_{01}=-1
\epsilon_{11}=\epsilon_{00}=0
3階の場合
\epsilon_{i j k}=\begin{dcases}1 & ((i, j, k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)) \\-1 & ((i, j, k)=(1,3,2),(3,2,1),(2,1,3)) \\0 & \text{ (otherwise) }\end{dcases}
これを用いると、Cross積を以下のように記述できる(\sf Eを標準基底とする)
\pmb{a}\times\pmb{b}=\sum_{i,j,k}\epsilon_{ijk}[\pmb{a}]^\mathsf{E}_j[\pmb{b}]^\mathsf{E}_k\pmb{e}_i
記号の流儀
\epsilon,\varepsilon,eなどが使われる
eは『テンソル解析と連続体力学 理工学海外名著シリーズ30』で使われている
\varepsilonは微小ひずみtensorと混同するので避ける
性質
縮約公式
階数に応じて、関係式が作られる
n重縮合
\epsilon_{\lambda_0\lambda_1\cdots\lambda_{n-1}}\epsilon_{\lambda_0\lambda_1\cdots\lambda_{n-1}}=n!
証明：
2乗しているので、どの項も0か1のどちらかになる
0にならない添え字の組み合わせは、0からn-1の順列と等しい
よって1の項がn!個あり、その総和が答えとなる
例
2階：{\epsilon_{ij}}^2=2
3階：{\epsilon_{ijk}}^2=6
{\Large\bm\epsilon}\vdots{\Large\bm\epsilon}=3!に対応
n-1重縮合
\epsilon_{\lambda_0\lambda_1\cdots\lambda_{n-1}}\epsilon_{\lambda_1\cdots\lambda_{n-1}\lambda_n}=(-1)^{n-1}(n-1)!\llbracket\lambda_0=\lambda_n\rrbracket
例
2階：\epsilon_{ij}\epsilon_{jk}=\epsilon_{ij}\epsilon_{jk}\llbracket i=k\rrbracket
=\epsilon_{ij}\epsilon_{ji}\llbracket i=k\rrbracket
=-{\epsilon_{ij}}^2\llbracket i=k\rrbracket
= -\llbracket i=k\rrbracket
\bm\epsilon\cdot\bm\epsilon=-\bm Iに対応
3階：\epsilon_{ijk}\epsilon_{jkl}=\epsilon_{ijk}\epsilon_{jkl}\llbracket i=l\rrbracket
= \epsilon_{ijk}\epsilon_{jki}\llbracket i=l\rrbracket
= {\epsilon_{ijk}}^2\llbracket i=l\rrbracket
= 2\llbracket i=l\rrbracket
\because iを固定した時、j,kの組み合わせは2通りある
{\Large\bm\epsilon}:{\Large\bm\epsilon}=2\bm Iに対応
n-2重縮合
\epsilon_{\lambda_0\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_{n-1}}\epsilon_{\lambda_2\cdots\lambda_{n-1}\lambda_n\lambda_{n+1}}=\llbracket\lambda_0=\lambda_n\rrbracket\llbracket\lambda_1=\lambda_{n+1}\rrbracket-\llbracket\lambda_0=\lambda_{n+1}\rrbracket\llbracket\lambda_1=\lambda_n\rrbracket
例
2階：\epsilon_{ij}\epsilon_{kl}=\epsilon_{ij}\epsilon_{il}\llbracket i=k\rrbracket+\epsilon_{ij}\epsilon_{ki}\llbracket i=l\rrbracket
= \llbracket j=l\rrbracket\llbracket i=k\rrbracket-\llbracket k=j\rrbracket\llbracket i=l\rrbracket
=\llbracket i=k\rrbracket\llbracket j=l\rrbracket-\llbracket i=l\rrbracket\llbracket j=k\rrbracket
\bm\epsilon\bm\epsilon=2{\cal\pmb W}に相当
3階：\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}=\epsilon_{ijk}\epsilon_{kij}\llbracket i=l\rrbracket\llbracket j=m\rrbracket+\epsilon_{ijk}\epsilon_{kji}\llbracket i=m\rrbracket\llbracket j=l\rrbracket
=\llbracket i=l\rrbracket\llbracket j=m\rrbracket-\llbracket i=m\rrbracket\llbracket j=l\rrbracket
{\Large\bm\epsilon}\cdot{\Large\bm\epsilon}=2{\cal\pmb W}に相当
\epsilon_{\lambda_0\lambda_1\cdots\lambda_{n-1}}a_{\lambda_0\mu_0}a_{\lambda_1\mu_1}\cdots a_{\lambda_{n-1}\mu_{n-1}}=\epsilon_{\lambda_0\lambda_1\cdots\lambda_{n-1}}\epsilon_{\mu_0\mu_1\cdots\mu_{n-1}}a_{\lambda_00}a_{\lambda_11}\cdots a_{\lambda_{n-1}n-1}\quad\text{.for }\forall \lambda_\bullet,\mu_\bullet\in[0,n\lbrack
行列式を解くのに使う関係
行列式との関係
\det [A]=\epsilon_{\lambda_0\lambda_1\cdots\lambda_{n-1}}[A]_{0\lambda_0}[A]_{1\lambda_1}\cdots[A]_{n-1\lambda_{n-1}}
ここで、[A]はn次元行列とした
行列式をLevi-Civita記号2つで表現する
2次元tensorのとき
\det\pmb A=\epsilon_{ij}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{0i}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{1j}=\epsilon_{01}\epsilon_{ij}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{0i}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{1j}
\epsilon_{10}\epsilon_{ij}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{1i}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{0j}=-\epsilon_{01}\epsilon_{ij}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{1i}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{0j}=\epsilon_{01}\epsilon_{ji}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{0j}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{1i}=\epsilon_{01}\epsilon_{ij}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{0i}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{1j}=\det\pmb A
\therefore\det\pmb A=\frac12\epsilon_{ij}\epsilon_{kl}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{ik}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{jl}
性質がわかった
添え字を入れ替えても符号が変わらないんだ
添え字の入れ替えはn!通りあるから、n!個足し合わせてn!で割れば元通り
3次元tensor
\det\pmb A=\epsilon_{ijk}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{0i}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{1j}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{2k}=\epsilon_{012}\epsilon_{ijk}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{0i}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{1j}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{2k}
\epsilon_{021}\epsilon_{ijk}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{0i}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{2j}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{1k}=(-\epsilon_{012})(-\epsilon_{ikj})[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{0i}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{1k}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{2j}=\det\pmb A
\therefore\det A=\frac1{3!}\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{il}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{jm}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{kn}
\epsilon_{ijk}a_{il}a_{jm}a_{kn}=\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}a_{i0}a_{j1}a_{k2}とも書ける
一般に、
\epsilon_{\lambda_0\lambda_1\cdots\lambda_{n-1}}a_{\lambda_0\mu_0}a_{\lambda_1\mu_1}\cdots a_{\lambda_{n-1}\mu_{n-1}}=\epsilon_{\lambda_0\lambda_1\cdots\lambda_{n-1}}\epsilon_{\mu_0\mu_1\cdots\mu_{n-1}}a_{\lambda_00}a_{\lambda_11}\cdots a_{\lambda_{n-1}n-1}\quad\text{.for }\forall \lambda_\bullet,\mu_\bullet\in[0,n\lbrack
である
n>mのとき
1,0,-1以外の値を取れるようになる
例えば3次元2階反対称tensorは独立な成分を3つ取れる
A_{ij}=\begin{pmatrix}0&a_2&-a_1\\-a_2&0&a_0\\a_1&-a_0&0\\\end{pmatrix}
\epsilon_{ijk}a_k=A_{ij}が成立することからわかるように、n階完全反対称tensorと密接なつながりがある
n<mのとき
常にzero tensorしかない
代数学 (講義)でいい感じの式を見つけたんだけどなんだっけな
そのうちノート探そう
表記揺れ
このページで定義した概念の別名
添字記法とtensorとを同一視する流儀では、以下のようなテンソルの名前で呼ばれることがある
文献によって意味にブレがあるため、使わないほうが無難
3階完全反対称tensorと同義：
反対称tensorと同義：
縮約公式が載っている
#2024-04-13 10:32:31
#2024-04-06 12:26:47
#2023-07-28 15:23:33
#2022-06-16 20:29:10
#2022-06-13 08:43:53