『非線形有限要素法のための連続体力学(第2版)』
bibliography
| 著者 | Javier Bonet, Richard D.Wood |
| 訳者 | 吉田純司, 寺嶋隆史, 生出佳 |
| 監訳 | 非線形CAE協会 |
| 出版日 | 2017-06-19 |
| 出版社 | 森北出版 |
| 件名標目 | 有限要素法 |
| NDC10 | 501.341 |
| ISBN | 4627675127 |
電子書籍あったんだ
>世界標準の入門書として地位を確立している原著名“Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis”の第2版,待望の翻訳! 大変形を含む非線形有限要素法の基礎となる連続体力学と,その離散化方法を,平易かつ簡潔に解説します.基礎理論からコンピュータへの実装までをカバーし,ソースコードも入手可能となっています.訳者による注記や付録も追加され,より理解しやすく工夫されています.
tensorの説明がわかりやすい
但し、共変・反変成分の事は書いていない。
正規直交基底しか扱わないからだろうか
tensor解析についても扱っている
Einsteinの総和規約を使わずに式展開しているところも好感ポイント
しおり用のひもつき
目次
序文
訳者まえがき
目次
記号類の表記について
1章 序論
2章 数学に関する予備知識
2. 1 はじめに
2. 2 ベクトルとテンソル
tensorの成分表示は、この節の表記に着想を得て作った
2. 2. 1 ベクトル
2. 2. 2 2階のテンソル
2. 2. 3 ベクトルとテンソルの不変量
2. 2. 4 高階のテンソル
2. 3 線形化と方向微分
2. 3. 1 1自由度の方程式の解法
2. 3. 2 非線形問題に対する一般的な解法
2. 3. 3 方向微分の性質
2. 4 テンソル解析
2. 4. 1 勾配演算子と発散演算子
2. 4. 2 積分定理
演習問題
3章 3次元のトラス構造物の解析
4章 変形の記述
連続体の位置・速度・変形の記述方法を調べる
4. 1 はじめに
4. 2 運動
物体を物質点の集合として考える
質点の集合と解釈してもよさそう
定義より\pmb{X}=\pmb{\phi}(\pmb{X},0)が成り立つ
物体中の物質点の変位は\pmb{\phi}(\pmb{X},t)-\pmb{X}となる
厳密には、これだと平行移動や回転など、変形を含まない変位も混じってしまうので、それらの影響をのぞいた物理量を作る必要がある
構造力学では、ほとんど変位がないものとして考える
流体力学や金属加工問題だと、大きな変位が用意に発生する
物体中の特定の物質点\pmb{X}と時刻tで運動を表示する
(\pmb{X},t)\xmapsto{f}\pmb{p}
空間内の位置\pmb{x}と時刻tで運動を表示する
(\pmb{x},t)\xmapsto{g}\pmb{p}
tが変化すると、異なる物質点が占める可能性が高い
例：流速(\pmb{x},t)\mapsto\pmb{u}
静水でないかぎり、\mathrm{d}t後に\pmb{x}に占める流体粒子は別のものになる
相互変換
f(\pmb{X},t)=g(\pmb{\phi}(\pmb{X},t),t)
g(\pmb{x},t)=f(\pmb{\phi}^{-1}(\pmb{x},t),t)
ただし、\pmb{x}=\pmb{\phi}(\pmb{\phi}^{-1}(\pmb{x,t}),t)
完全な逆函数ではないが、記号が思いつかないので、特別に逆函数の記号を流用した
物質点を追跡したいときは前者を、その場の現象に着目したい場合は後者を使うことが多いが、厳密にはケースバイケースとなる
構造力学だと前者だろう
変形の移動量を調べたい
流体力学だと後者になる
流体粒子一つ一つの挙動を知ってもうれしくない
あっという間に流れ去ってしまう
そもそも粒子を区別する意味がない
検査領域での流速や水頭を知りたい
例4.1 1軸上の運動
4. 4 変形勾配
物質表示における微小線分vectorを、時刻tでの空間表示における微小線分vectorへ変換するtensorを求める
平行移動の影響をのぞいた量を作る
回転までは除けていない
物質点P(\pmb{X})の近傍にある別の物質点Q(\pmb{X}+\mathrm{d}\pmb{X})を考える
時刻tにおけるQの現位置\pmb{x}+\mathrm{d}\pmb{x}は
\pmb{x}+\mathrm{d}\pmb{x}=\pmb{\phi}(\pmb{X}+\mathrm{d}\pmb{X},t)
=\pmb{\phi}(\pmb{X},t)+(\pmb{\nabla}_0\otimes\pmb{\phi}(\pmb{X},t))^\top\mathrm{d}\pmb{X}
\pmb{\nabla}_0は初期配置\pmb{X}に対する微分演算子
tは含まない
\therefore\mathrm{d}\pmb{x}=(\pmb{\nabla}_0\otimes\pmb{\phi}(\pmb{X},t))^\top\mathrm{d}\pmb{X}=:\pmb{F}\mathrm{d}\pmb{X}
\because\pmb{x}=\pmb{\phi}(\pmb{X},t)
2点tensor(two-point tensor)とも呼ぶ
2点間の初期配置の微小線分vector\mathrm{d}\pmb{X}を現配置のvector\mathrm{d}\pmb{x}に変換するtensor
注意4.1 ほかの教科書の表記
注意4.2
物質表示した量を空間表示に変換することをpush forwardと呼ぶ
\pmb{\phi}は\pmb{X}を\pmb{x}にpush forwardする変換
逆変換をpull backと呼ぶ
例4.2 一様変形
4. 5 ひずみ
物質表示における2つの微小線分vector\mathrm{d}\pmb{X}_0と\mathrm{d}\pmb{X}_1の内積変化を考える
\mathrm{d}\pmb{x}_0\cdot\mathrm{d}\pmb{x}_1=\pmb{F}\mathrm{d}\pmb{X}_0\cdot\pmb{F}\mathrm{d}\pmb{X}_1
=\mathrm{d}\pmb{X}_0\cdot\pmb{F}^\top\pmb{F}\mathrm{d}\pmb{X}_1
=\pmb{F}^\top\pmb{F}:\mathrm{d}\pmb{X}_0\otimes\mathrm{d}\pmb{X}_1
ここで:は2重縮合
=:\pmb{C}:\mathrm{d}\pmb{X}_0\otimes\mathrm{d}\pmb{X}_1
\pmb{C}を右Cauchy-Green変形tensorと呼ぶ
\mathrm{d}\pmb{X}_0\cdot\mathrm{d}\pmb{X}_1=\pmb{F}^{-1}\mathrm{d}\pmb{x}_0\cdot\pmb{F}^{-1}\mathrm{d}\pmb{x}_1
=\mathrm{d}\pmb{x}_0\cdot{\pmb{F}^{-1}}^\top\pmb{F}^{-1}\mathrm{d}\pmb{x}_1
=\left(\pmb{F}\pmb{F}^\top\right)^{-1}:\mathrm{d}\pmb{x}_0\otimes\mathrm{d}\pmb{x}_1
\because {\pmb{F}^{-1}}^\top\pmb{F}^{-1}\pmb{F}\pmb{F}^\top={\pmb{F}^{-1}}^\top\pmb{F}^\top=\left(\pmb{F}\pmb{F}^{-1}\right)^\top=\pmb{I}
=:\pmb{b}^{-1}:\mathrm{d}\pmb{x}_0\otimes\mathrm{d}\pmb{x}_1
以上の変換を用いると、内積の変化は物質表示と空間表示の2通りで表現できる
物質表示
\frac12(\mathrm{d}\pmb{x}_0\cdot\mathrm{d}\pmb{x}_1-\mathrm{d}\pmb{X}_0\cdot\mathrm{d}\pmb{X}_1)=\frac12(\pmb{C}:\mathrm{d}\pmb{X}_0\otimes\mathrm{d}\pmb{X}_1-\pmb{I}:\mathrm{d}\pmb{X}_0\otimes\mathrm{d}\pmb{X}_1)
=\frac12(\pmb{C}-\pmb{I}):\mathrm{d}\pmb{X}_0\otimes\mathrm{d}\pmb{X}_1
=:\pmb{E}:\mathrm{d}\pmb{X}_0\otimes\mathrm{d}\pmb{X}_1
空間表示
\frac12(\mathrm{d}\pmb{x}_0\cdot\mathrm{d}\pmb{x}_1-\mathrm{d}\pmb{X}_0\cdot\mathrm{d}\pmb{X}_1)=\frac12\left(\pmb{I}:\mathrm{d}\pmb{x}_0\otimes\mathrm{d}\pmb{x}_1-\pmb{b}^{-1}:\mathrm{d}\pmb{x}_0\otimes\mathrm{d}\pmb{x}_1\right)
=\frac12\left(\pmb{I}-\pmb{b}^{-1}\right):\mathrm{d}\pmb{x}_0\otimes\mathrm{d}\pmb{x}_1
=:\pmb{e}:\mathrm{d}\pmb{x}_0\otimes\mathrm{d}\pmb{x}_1
\pmb{e}は使いたくないな
基底vectorと紛らわしい
なんで2で割るんだっけ？
4. 6 極分解
4. 7 体積の変化
4. 8 変形勾配テンソルの偏差成分
4. 9 面積変化
4. 10 変形に関連する量の線形化
4. 10. 1 変形勾配の線形化
4. 10. 2 ひずみの線形化
4. 10. 3 体積変化の線形化
4. 11 速度と物質時間導関数
4. 11. 1 速度
物質点\pmb{X}の速度\pmb{v}は
\pmb{v}=\frac{\mathrm{d}\pmb{\phi}}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial\pmb{\phi}}{\partial t}
\pmb{X}とtは独立しているので、\mathrm{d}\pmb{X}成分は消える
となる
空間座標\pmb{x}にある物質点の速度\pmb{u}は、物質座標との変換式を用いて下記のように表せる
\pmb{u}=\pmb{v}(\pmb{\phi}^{-1}(\pmb{x},t),t)
\pmb{v}=\pmb{u}(\pmb{\phi}(\pmb{x},t),t)
4. 11. 2 物質時間導関数
↑のような、特定の物質点の時間導関数を物質時間導関数と呼ぶ
物質座標の函数の場合は↑のように偏微分するだけ
\pmb{a}=\ddot{\pmb{\phi}}=\frac{\partial^2\pmb{\phi}}{{\partial t}^2}
空間座標の函数の場合はややこしい
例：空間上の任意の点\pmb{x}における流速を(\pmb{x},t)\mapsto\pmb{u}としたとき、物質点\pmb{X}に対応づけられた流体粒子の加速度(\pmb{X},t)\mapsto\pmb{a}は
\def\dev#1#2{\frac{\mathrm{d}#1}{\mathrm{d}#2}}\def\pdev#1#2{\frac{\partial#1}{\partial#2}}\pmb{a}=\dev{}{t}\pmb{u}(\pmb{\phi}(\pmb{X},t),t)=\left.\pdev{\pmb{u}}{t}+(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\top\pmb{v}\right|_{\pmb{x}=\pmb{\phi}(\pmb{X},t)}
第2項を対流微分(convective derivative)と呼ぶ
速度勾配tensorと流体粒子の速度との積
由来はなんだろう
実質微分と同じ？
これを使うと、Eulerの運動方程式を導ける
初期配置が\pmb{X}の物質点Aに関する運動方程式を立式する
運動量変化
\mathrm{d}(\rho\pmb{v}\mathrm{d}v_A)
\mathrm{d}v_A:空間表示での微小体素
\mathrm{d}v_Aは時間変化するから外に出せない……これでいいのか？
体積変化率を考慮すればいいのか？
空間表示で立式すれば、気にしなくてすむ？
力
周囲からの圧力
-\pmb{\nabla}P\mathrm{d}v_A
面積力と呼ぶ？
単位質量あたりの外力\pmb{f}_A
体積力と呼ぶ？
質量保存則(連続の式 (流体))
\pmb{\nabla}\cdot(\rho\pmb{u})+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0
\iff \rho\pmb{\nabla}\cdot\pmb{u}+(\pmb{\nabla}\rho)\cdot\pmb{u}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0
(\mathrm{d}v_Aを一定とした場合)全部あわせると
\def\pdev#1#2{\frac{\partial#1}{\partial#2}}\mathrm{d}(\rho\pmb{v})\mathrm{d}v_A=(\rho\mathrm{d}v_A)\pmb{f}_A\mathrm{d}t-\pmb{\nabla}P\mathrm{d}v_A\mathrm{d}t
\iff\def\pdev#1#2{\frac{\partial#1}{\partial#2}}\left.\pdev{\pmb{u}}{t}+(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\top\pmb{v}\right|_{\pmb{x}=\pmb{\phi}(\pmb{X},t)}=\pmb{f}_A-\frac1\rho\pmb{\nabla}P
\pmb{v}=\pmb{u}(\pmb{\phi}(\pmb{x},t),t)で\pmb{v}を置き換えた後、\pmb{\phi}(\pmb{x},t)を\pmb{x}で略記すると
\therefore\def\pdev#1#2{\frac{\partial#1}{\partial#2}}\pdev{\pmb{u}}{t}+(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\top\pmb{u}=\pmb{f}_A-\frac1\rho\pmb{\nabla}P
4. 11. 3 方向微分と時間導関数
\mathrm{d}\pmb{F}=(\pmb{\nabla}_0\otimes\pmb{F})^\top\mathrm{d}\pmb{X}+\frac{\partial\pmb{F}}{\partial t}\mathrm{d}t
=(\pmb{\nabla}_0\otimes\pmb{F})^\top\mathrm{d}\pmb{X}+\left(\pmb{\nabla}_0\otimes\frac{\partial\pmb{\phi}}{\partial t}\right)^\top\mathrm{d}t
全く理解していないが、微分順序を交換してもいいらしい
=(\pmb{\nabla}_0\otimes\pmb{F})^\top\mathrm{d}\pmb{X}+\left(\pmb{\nabla}_0\otimes\pmb{v}\right)^\top\mathrm{d}t
4. 11. 4 速度勾配テンソル
\pmb{l}:=(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{u})^\top
これと\pmb{v}=\pmb{u}(\pmb{\phi}(\pmb{X},t),t)を使うと、
\mathrm{d}\pmb{F}=(\pmb{\nabla}_0\otimes\pmb{F})^\top\mathrm{d}\pmb{X}+\left.\pmb{l}\right|_{\pmb{x}=\pmb{\phi}(\pmb{X},t)}\pmb{F}\mathrm{d}t
となる。
\dot{\pmb{F}}=\frac{\mathrm{d}\pmb{F}}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial\pmb{F}}{\partial t}=\left.\pmb{l}\right|_{\pmb{x}=\pmb{\phi}(\pmb{X},t)}\pmb{F}だから、\left.\pmb{l}\right|_{\pmb{x}=\pmb{\phi}(\pmb{X},t)}=\dot{\pmb{F}}\pmb{F}^{-1}が成り立つ
4. 12 変形速度テンソル
4. 13 スピンテンソル
4. 14 体積変化率の時間導関数
4. 15 剛体運動の重ね合わせと客観性
演習問題
5章 応力と力のつり合い
6章 超弾性体
7章 大変形における弾塑性モデル
8章 つり合い式の線形化
9章 最適化と解法
10章 コンピュータによる実装
付録A 方向微分に関する補足
付録B Einsteinの総和規約に関する補足
参考文献
索引
#2022-06-12 17:34:45
#2022-05-25 09:07:36
#2022-05-14 12:02:27