2重縮合
(\pmb{a}\pmb{b}):(\pmb{c}\pmb{d})=(\pmb{b}\cdot\pmb{c})(\pmb{a}\cdot\pmb{d})
2階階数を落としたtensorを作るtensorの演算
2階tensorの場合は内積に相当する
どの成分同士を縮約するかで違った定義がある
『連続体の力学5 (ベクトル演算と物理成分) 』では演算子を使い分けていた
(\pmb{a}\pmb{b}):(\pmb{c}\pmb{d})=(\pmb{b}\cdot\pmb{c})(\pmb{a}\cdot\pmb{d})
(\pmb{a}\pmb{b})\cdot\cdot(\pmb{c}\pmb{d})=(\pmb{a}\cdot\pmb{d})(\pmb{b}\cdot\pmb{c})
一般の場合の定義は↓を参照
表記ゆれ
『非線形有限要素法のための連続体力学(第2版)』だと2重縮合と呼んでいた
こうすると定義を拡張して「n重縮合」を考えられる
n成分ずつ掛け合わせて階数をn個を減らす演算を「n重縮合」とする
階数が1つづつ減る
(行列積も\cdotで表し、代わりにtensor積\otimesを省略した)
\pmb{a}\cdot\pmb{b}=c
1-1+1-1=0
(\pmb{a}\pmb{b})\cdot\pmb{c}=\pmb{a}(\pmb{b}\cdot\pmb{c})
2-1+1-1=1
(\pmb{a}\pmb{b})\cdot(\pmb{c}\pmb{d})=(\pmb{b}\cdot\pmb{c})(\pmb{a}\pmb{d})
2-1+2-1=2
(\pmb{a}\pmb{b}\pmb{c})\cdot\pmb{d}=(\pmb{a}\pmb{b})(\pmb{c}\cdot\pmb{d})
3-1+1-1=2
(\pmb{a}\pmb{b}\pmb{c})\cdot(\pmb{d}\pmb{e})=(\pmb{c}\cdot\pmb{d})(\pmb{a}\pmb{b}\pmb{e})
3-1+2-1=3
\left(\bigotimes_{0\le i\le m}\pmb{a}_i\right)\left(\bigotimes_{0\le j\le n}\pmb{b}_j\right)=(\pmb{a}_m\cdot\pmb{b}_0)\left(\bigotimes_{0\le i\le m-1}\pmb{a}_i\right)\otimes\left(\bigotimes_{1\le j\le n}\pmb{b}_j\right)
m-1+n-1=m+n-2
階数が2つずつ減る
(\pmb{a}\pmb{b}):(\pmb{c}\pmb{d})=(\pmb{a}\cdot\pmb{c})(\pmb{b}\cdot\pmb{d})
2-2+2-2=0
(\pmb{a}\pmb{b}\pmb{c}):(\pmb{d}\pmb{e})=\pmb{a}(\pmb{b}\cdot\pmb{d})(\pmb{c}\cdot\pmb{e})
3-2+2-2=1
(\pmb{a}\pmb{b}\pmb{c}\pmb{d}):(\pmb{e}\pmb{f})=(\pmb{a}\pmb{b})(\pmb{c}\cdot\pmb{e})(\pmb{d}\cdot\pmb{f})
4-2+2-2=2
(\pmb{a}\pmb{b}\pmb{c}\pmb{d}):(\pmb{e}\pmb{f}\pmb{g})=(\pmb{a}\pmb{b}\pmb{g})(\pmb{c}\cdot\pmb{e})(\pmb{d}\cdot\pmb{f})
4-2+3-2=3
\left(\bigotimes_{0\le i\le m}\pmb{a}_i\right):\left(\bigotimes_{0\le j\le n}\pmb{b}_j\right)=(\pmb{a}_{m-1}\cdot\pmb{b}_0)(\pmb{a}_{m}\cdot\pmb{b}_1)\left(\bigotimes_{0\le i\le m-2}\pmb{a}_i\right)\otimes\left(\bigotimes_{2\le j\le n}\pmb{b}_j\right)
m-1+n-1=m+n-2
考えられるのだが、記号が足りない……
添字記法だと追加の記号なしで表現できる
ここは添字記法に軍配が上がるな
このスライドでは::で4重縮合を表現している
とりあえず\bullet\cdot^n\bulletを使うことにする
\pmb{a}\cdot\pmb{b}=\pmb{a}\cdot^1\pmb{b}
\pmb{A}:\pmb{B}=\pmb{A}\cdot^2\pmb{B}
{\cal\pmb{A}}::{\cal\pmb{B}}={\cal\pmb{A}}\cdot^4{\cal\pmb{B}}
変換式とか
線型性の証明は略
以下、2階tensorについて、
\pmb{A}:\pmb{B}=\sum_{i,j}[\pmb{A}]^\mathsf{\bar{E}F}_{ij}[\pmb{B}]^\mathsf{E\bar{F}}_{ij}=\sum_{i,j}[\pmb{A}]^\mathsf{E\bar{F}}_{ij}[\pmb{B}]^\mathsf{\bar{E}F}_{ij}\quad\text{.for}\forall\mathsf{E,F}
\because\pmb{A}:\pmb{B}=\sum_{i,j,k,l}[\pmb{A}]^\mathsf{\bar{E}F}_{ij}(\pmb{e}_i\bar{\pmb{f}}_j):[\pmb{B}]^\mathsf{E\bar{F}}_{kl}(\bar{\pmb{e}}_k\pmb{f}_l)
=\sum_{i,j,k,l}[\pmb{A}]^\mathsf{\bar{E}F}_{ij}[\pmb{B}]^\mathsf{E\bar{F}}_{kl}\llbracket i=k\land j=l\rrbracket
\because (\pmb{e}_i\bar{\pmb{f}}_j):(\bar{\pmb{e}}_k\pmb{f}_l)=(\pmb{e}_i\cdot\bar{\pmb{e}}_k)(\bar{\pmb{f}}_j\cdot\pmb{f}_l)=\llbracket i=k\land j=l\rrbracket
=\sum_{i,j}[\pmb{A}]^\mathsf{\bar{E}F}_{ij}[\pmb{B}]^\mathsf{E\bar{F}}_{ij}
\sf E=\bar{F}を代入した後\sf Fを\sf Eに書き換えれば=\sum_{i,j}[\pmb{A}]^\mathsf{E\bar{F}}_{ij}[\pmb{B}]^\mathsf{\bar{E}F}_{ij}となる
\pmb{A}:\pmb{B}=\pmb{B}:\pmb{A}
\because\pmb{A}:\pmb{B}=\sum_{i,j}[\pmb{A}]^\mathsf{\bar{E}F}_{ij}[\pmb{B}]^\mathsf{E\bar{F}}_{ij}=\sum_{i,j}[\pmb{B}]^\mathsf{E\bar{F}}_{ij}[\pmb{A}]^\mathsf{\bar{E}F}_{ij}=\sum_{i,j}[\pmb{B}]^\mathsf{\bar{E}F}_{ij}[\pmb{A}]^\mathsf{E\bar{F}}_{ij}=\pmb{B}:\pmb{A}
\pmb{A}^\top:\pmb{B}^\top=\pmb{A}:\pmb{B}
行列積との関係
(\pmb{A}\cdot\pmb{B}):\pmb{C}=\sum_{i,j}[\pmb{A}\cdot\pmb{B}]^\mathsf{\bar{E}F}_{ij}[\pmb{C}]^\mathsf{E\bar{F}}_{ij}=\sum_{i,j,k}[\pmb{A}]^\mathsf{\bar{E}G}_{ik}[\pmb{B}]^\mathsf{\bar{G}F}_{kj}[\pmb{C}]^\mathsf{E\bar{F}}_{ij}=\sum_{i,j,k}[\pmb{A}^\top]^\mathsf{G\bar{E}}_{ki}[\pmb{B}]^\mathsf{\bar{G}F}_{kj}[\pmb{C}^\top]^\mathsf{\bar{F}E}_{ji}
=\pmb{A}^\top:(\pmb{B}\cdot\pmb{C}^\top)=\pmb{A}:(\pmb{C}\cdot\pmb{B}^\top)
縮約する位置同士を比べることでも求まる
trace (tensor)との関係
\mathrm{tr}(\pmb{A}^\top\cdot\pmb{B})=\pmb{A}:\pmb{B}
証明
\sf Eを任意の基底とする
\mathrm{tr}(\pmb{A}^\top\cdot\pmb{B})=\sum_i[\pmb{A}^\top\cdot\pmb{B}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ii}
=\sum_{i,j}[\pmb{A}^\top]^\mathsf{E\bar{E}}_{ij}[\pmb{B}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ji}
=\sum_{i,j}[\pmb{A}^\top]^\mathsf{E\bar{E}}_{ij}[\pmb{B}^\top]^\mathsf{\bar{E}E}_{ij}
= \pmb A^\top:\pmb B^\top
=\pmb{A}:\pmb{B}
逆に、\forall\pmb{A},\pmb{B}(\pmb{A}:\pmb{B}=\mathrm{tr}(\pmb{A}^\top\pmb{B}))\implies\forall\pmb{a},\pmb{b},\pmb{c},\pmb{d}((\pmb{a}\pmb{b}):(\pmb{c}\pmb{d})=(\pmb{b}\cdot\pmb{c})(\pmb{a}\cdot\pmb{d}))も成り立つ
\mathrm{tr}(\pmb{A})=\pmb{A}:\pmb{I}
\because \mathrm{tr}(\pmb{A})=\mathrm{tr}(\pmb{A}^\top)=\mathrm{tr}(\pmb{A}^\top\cdot\pmb{I})=\pmb{A}:\pmb{I}
なお、一般に\bm A:\bm A=\bm A^\top:\bm Aは成立しない
対称テンソルのときのみ成立する
固有値を使って説明する
\bm{A}^\top:\bm{A}=\sum_{i,j}[\bm{A}^\top]^\mathsf{E\bar{E}}_{ij}[\bm{A}]^\mathsf{\bar{E}E}_{ij}
= \sum_{i,j}[\bm{A}]^\mathsf{\bar{E}E}_{ji}[\bm{A}]^\mathsf{\bar{E}E}_{ij}
=\sum_{i,j}[\bm{A}]^\mathsf{\bar{P}P}_{ji}[\bm{A}]^\mathsf{\bar{P}P}_{ij}
\bm Aの固有基底\sf P([\bm A]^{\sf \bar PP}_{ij}=\lambda_i\llbracket i=j\rrbracket)を\sf Eに代入した
=\sum_i\lambda_i^2
\bm{A}:\bm{A}=\sum_{i,j}[\bm{A}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ij}[\bm{A}]^\mathsf{\bar{E}E}_{ij}
=\sum_{i,j}[\bm{A}]^\mathsf{P\bar{P}}_{ij}[\bm{A}]^\mathsf{\bar{P}P}_{ij}
\bm Aの固有基底\sf P([\bm A]^{\sf \bar PP}_{ij}=\lambda_i\llbracket i=j\rrbracket)を\sf Eに代入した
=\sum_{i,j,k,l}[\bm I]^{\sf PP}_{ik}[\bm I]^{\sf\bar P\bar P}_{lj}[\bm{A}]^\mathsf{\bar{P}P}_{kl}[\bm{A}]^\mathsf{\bar{P}P}_{ij}
=\sum_{i,j}[\bm I]^{\sf PP}_{ij}[\bm I]^{\sf\bar P\bar P}_{ji}[\bm{A}]^\mathsf{\bar{P}P}_{jj}[\bm{A}]^\mathsf{\bar{P}P}_{ii}
=\sum_{i,j}[\bm I]^{\sf PP}_{ij}[\bm I]^{\sf\bar P\bar P}_{ij}[\bm{A}]^\mathsf{\bar{P}P}_{ii}[\bm{A}]^\mathsf{\bar{P}P}_{jj}
もし対称tensorなら\bar P=Pより[\bm I]^{\sf PP}_{ij}=[\bm I]^{\sf\bar P\bar P}_{ij}=[\bm I]^{\sf P\bar P}_{ij}=\llbracket i=j\rrbracketだから
=\sum_i[\bm{A}]^\mathsf{\bar{P}P}_{ii}[\bm{A}]^\mathsf{\bar{P}P}_{ii}
=\sum_i\lambda_i^2
となる。
だが、非対称tensorでは[\bm I]^{\sf PP}_{ij}[\bm I]^{\sf\bar P\bar P}_{ij}が消えてくれないので、これ以上展開しようがない
一見\sum_{i,j}[\bm I]^{\sf PP}_{ij}[\bm I]^{\sf\bar P\bar P}_{ij}=3とできそうだが、[\bm{A}]^\mathsf{\bar{P}P}_{ii}[\bm{A}]^\mathsf{\bar{P}P}_{jj}もあるため総和規約を適用できない
結合法則
証明はしていないがおそらく正しい
(\pmb{a}\cdot{\cal\pmb{A}}):\pmb{A}=\pmb{a}\cdot{\cal(\pmb{A}}:\pmb{A})
(\pmb{A}\cdot{\cal\pmb{A}}):\pmb{B}=\pmb{A}\cdot{\cal(\pmb{A}}:\pmb{B})
References
#2024-02-04 11:21:43
#2024-01-31 14:31:37
#2023-06-09 02:46:29
#2022-07-16 09:59:54
#2022-07-13 11:43:34
#2021-03-08 00:02:38