基底変換tensor
基底変換するtensor
\bm Q^\mathsf{E\bar F}:=\sum_i\bm{e}_i\bm{f}_i
\bm Q^{\sf E\bar F}は\sf Fの基底vector\bm f_iを\sf Eの基底vector\bm e_iに変換する作用を持つ
性質
\bm{e}_i=\bm{Q}^\mathsf{E\bar{F}}\cdot\bm{f}_i
名前の由来
\bm{Q}^\mathsf{EF}\cdot\bm{Q}^\mathsf{\bar{F}G}=\bm{Q}^\mathsf{EG}
\because\bm{Q}^\mathsf{EF}\cdot\bm{Q}^\mathsf{\bar{F}G}=\sum_{i,j}(\bm{e}_i\bm{f}_i)\cdot(\bar{\bm{f}}_j\bm{g}_j)=\sum_{i,j}\llbracket i=j\rrbracket(\bm{e}_i\bm{g}_j)=\sum_i\bm{e}_i\bm{g}_i=\bm{Q}^\mathsf{EG}
tensorの成分表示の各種演算法則と同じ法則が成立している
共変と反変とが打ち消し合う
\bm{Q}^\mathsf{E\bar{E}}=\bm{I}
定義から自明
{\bm{Q}^\mathsf{EF}}^{-1}=\bm{Q}^\mathsf{\bar{F}\bar{E}}
\because\bm Q^{\sf EF}\cdot\bm Q^{\sf \bar F\bar E}=\bm Q^{\sf E\bar E}=\bm I
{\bm{Q}^\mathsf{EF}}^\top=\bm{Q}^\mathsf{FE}
\because{\bm{Q}^\mathsf{EF}}^\top=\sum_i(\bm{e}_i\bm{f}_i)^\top=\sum_i\bm{f}_i\bm{e}_i=\bm{Q}^\mathsf{FE}
ここから\bm Q^{\sf EE}が対称tensorになることがわかる
\sf E,Fが正規直交基底なら、{\bm{Q}^\mathsf{EF}}^{-1}=\bm{Q}^\mathsf{\bar{F}\bar{E}}=\bm{Q}^\mathsf{FE}={\bm{Q}^\mathsf{EF}}^\topで直交tensorとなる
成分
[\bm Q^{\sf EF}]^{\sf GH}_{ij}= \bm g_i\cdot\bm e_k\bm f_k\cdot\bm h_j=[\bm I]^{\sf GE}_{ik}[\bm I]^{\sf FH}_{kj}
恒等tensorの成分表示[\bm I]^{\sf EF}と対応する性質があることがわかる
恒等tensorの成分表示との関係
[\bm I]^{\sf EF}_{ij}=\bm e_i\cdot\bm f_j=\bm e_i\cdot\bm Q^{\sf FG}\cdot\bar\bm g_j=[\bm Q^{\sf FG}]^{\sf E\bar G}_{ij}
これは展開できない
\bm{Q}^\mathsf{EF}\cdot\bm{Q}^\mathsf{\bar{E}\bar{F}}=\sum_{i,j}(\bm{e}_i\bm{f}_i)\cdot(\bar{\bm{e}}_j\bar{\bm{f}}_j)=\sum_{i,j}\bm{f}_i\cdot\bar{\bm{e}}_j(\bm{e}_i\bar{\bm{f}}_j)
indexと双対が食い違っていて、相殺できない
2024-01-13 10:48:15 「基底変換tensor」に変えた
2022-07-16 「座標変換tensor」じゃなくて「基底変換tensor」と呼んだほうが実態に即しているかも
#2024-01-13 11:00:04
#2023-07-29 21:54:57
#2023-07-27 10:04:08
#2022-07-16 11:36:53