恒等tensorの成分表示
from tensor代数とtensor解析メモ
性質
\mathsf{E}:=(\pmb{e}_i,\cdots,\pmb{e}_n)と\mathsf{F}:=(\pmb{e}_i,\cdots,\pmb{e}_n)を任意の基底とする
大雑把にいうと、恒等tensorの成分表示は座標変換行列となる
[\pmb{I}]^\mathsf{EF}_{ij}=\pmb{e}_i\cdot\pmb{f}_j
行列演算
{[\pmb{I}]^\mathsf{FE}}^{-1}=[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{F}}
\bar{\bullet}は対応する双対基底vectorを表す記号
{[\pmb{I}]^\mathsf{FE}}^\top= [\pmb{I}]^\mathsf{EF}
[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{E}}は必ず単位行列になる
[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ij}=\pmb{e}_i\cdot\bar{\pmb{e}}_j=\llbracket i=j\rrbracket
[\pmb{I}]^\mathsf{EE}は計量行列に相当する
[\pmb{I}]^\mathsf{EE}_{ij}=\pmb{e}_i\cdot\pmb{e}_j
アローラのすがたみたいな
導出
[\pmb{I}]^\mathsf{EF}_{ij}=\pmb{e}_i\cdot\pmb{f}_j
2通りくらい方法がある
1. 座標変換の性質から求める
2. 直接示す
tensorの成分表示の定義\pmb{A}=\sum_{i,j}[\pmb{A}]^\mathsf{EF}_{ij}\bar{\pmb{e}}_i\bar{\pmb{f}}_jに代入して、\pmb{I}になることを確認する
{[\pmb{I}]^\mathsf{FE}}^{-1}=[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{F}}と{[\pmb{I}]^\mathsf{FE}}^\top= [\pmb{I}]^\mathsf{EF}
座標変換の性質から求めることも可能だが、任意のtensorに拡張した式があるので、それに代入して導いたほうが構造がわかりやすい
[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{E}}は必ず単位行列になる
二重直交性を用いればすぐ出る
双方とも正規直交基底(\sf E=\bar{E}\land F=\bar{F})なら{[\pmb{I}]^\mathsf{EF}}^\top= {[\pmb{I}]^\mathsf{EF}}^{-1}が成立し、座標変換行列が直交行列になることがわかる
各種座標変換
[\pmb{a}]^\mathsf{F}=[\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{a}]^\mathsf{E}=[\pmb{I}]^\mathsf{FE}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}[\pmb{a}]^\mathsf{E}
同じ基底が並んでいるか否か程度の違いしかない
[\pmb{T}]^\mathsf{HG}=[\pmb{I}]^\mathsf{H\bar{F}}[\pmb{T}]^\mathsf{FE}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}G}
高階以上は高階恒等tensorを用いるしかない
[\pmb{\cal A}]^{\sf HIJ}=[\pmb{\cal I}]^{\sf HIJ\bar{E}\bar{F}\bar{G}}[\pmb{\cal A}]^{\sf EFG}
\pmb{\cal A}はn階tensor、\pmb{\cal I}は2n階単位tensor
添字記法なら2階恒等tensorで表せるのだが……
[\pmb{\cal A}]^{\sf HIJ}_{ijk}=[\pmb{I}]^{\sf H\bar{E}}_{il}[\pmb{I}]^{\sf I\bar{F}}_{jm}[\pmb{I}]^{\sf J\bar{G}}_{kn}[\pmb{\cal A}]^{\sf EFG}_{lmn}
それぞれ基底に依存しない元の式は\pmb{a}=\pmb{I}\cdot\pmb{a}=\pmb{a}、\pmb{T}=\pmb{I}\cdot\pmb{T}\cdot\pmb{I}=\pmb{T}であり、座標変換でtensorは変化しないことがよくわかる
これらの式も、tensorの成分表示の各種演算法則に\pmb{I}を代入しただけと捉えると、わざわざ座標変換として区別して扱う必要がないように思えてくる
#2023-06-09 02:31:14
#2023-04-02 07:22:22
#2022-06-05 18:53:02