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双対の双対は元の基底vector
基底vectorの双対基底vectorの双対基底vectorは、元の基底vectorに等しい
古典論理における論理否定と同じ性質を示す
-1とかとも同じ
ここから、基底の双対の双対も元の基底と同じになることがわかる

共変と反変という呼び方があるが、この性質より、共変と反変は相対的な呼び方だとわかる
\sf Eが共変基底なら\sf \bar{E}が反変基底であり
\sf \bar{E}が共変基底なら\sf Eが反変基底となる
なので、共変・反変ではなく、「Aの双対」と呼ぶようにしているtakker
ただ、共変と反変には他にも意味があるらしい
もしかしたら絶対的な基準があるのかもしれない

導出
\bar{\bar{\pmb{e}}}_i=\sum_j[\bar{\bar{\pmb{e}}}_i]^{\sf\bar{E}}_j\pmb{e}_j
=\sum_j(\bar{\bar{\pmb{e}}}_i\cdot\bar{\pmb{e}}_j)\pmb{e}_j
=\sum_j\llbracket i=j\rrbracket\pmb{e}_j
=\pmb{e}_i
\underline{\therefore\bar{\bar{\pmb{e}}}_i=\pmb{e}_i\quad}_\blacksquare

#2023-04-02 07:52:24
#2022-06-05 19:22:23