tensorの成分表示式を導出し直す
tensorの成分表示の関係式がよくわからなくなってきたので導出し直す
新記法書き換え作業中で、新旧入り乱れていてややこしいのも混乱の背景
[\bullet]による座標変換
これだけだと、まだ恒等tensorの成分表示は座標変換行列であることを示せない
なにげにこの式展開は初めてやる
[\bar{\pmb{e}}_i]^\mathsf{E}_j=\llbracket i=j\rrbracket
成分表示とdot積との関係式
[\pmb{a}]^\mathsf{E}=\pmb{a}\cdot\pmb{e}_i
これと[\bar{\pmb{e}}_i]^\mathsf{E}_j=\llbracket i=j\rrbracketより\pmb{e}_i\cdot\bar{\pmb{e}}_j=\llbracket i=j\rrbracketとなる
二重直交性を導出できた
[G]はゼロでない対称行列なので必ず逆行列が存在する
[G]_{ij}=\bar{\pmb{e}}_i\cdot\bar{\pmb{e}}_j=\bar{\pmb{e}}_j\cdot\bar{\pmb{e}}_i=[G]_{ji}
[G]_{ii}=\bar{\pmb{e}}_i\cdot\bar{\pmb{e}}_i=|\bar{\pmb{e}}_i|^2>0
ここまで導出できれば、あとは簡単なはず
1行で終わった
[\pmb{I}]^\mathsf{EF}_{ij}=\pmb{e}_i\cdot\pmb{f}_j
これが欲しかった
これより、[G]=[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{F}}を示せる
[\bar{\pmb{f}}_i]^\mathsf{E}_j=\bar{\pmb{f}}_i\cdot\pmb{e}_i=[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ij}
0=\mathrm{d}(\pmb{e}_i\cdot\bar{\pmb{e}}_j)=\pmb{\Gamma}^\mathsf{EE}_{ik}\mathrm{d}\bar{e}_k\cdot\bar{\pmb{e}}_j+\pmb{e}_i\cdot\pmb{\Gamma}^\mathsf{\bar{E}E}_{jk}\mathrm{d}\bar{e}_k
\implies\pmb{\Gamma}^\mathsf{\bar{E}E}_{jk}\cdot\pmb{e}_i=-\pmb{\Gamma}^\mathsf{EE}_{ik}\cdot\bar{\pmb{e}}_j
\mathrm{d}\bar{e}_kの線型独立性でばらした
\pmb{\Gamma}^\mathsf{EF}_{ij}=\frac{\partial\pmb{e}_i}{\partial\bar{f}_j}=\frac{\partial^2\pmb{r}}{\partial\bar{f}_j\partial\bar{e}_i}=\frac{\partial^2\pmb{r}}{\partial\bar{e}_i\partial\bar{f}_j}=\pmb{\Gamma}^\mathsf{FE}_{ji}
これ考える意味あるのかな？
#2022-10-20 14:54:59
#2022-10-19 20:29:16
#2022-10-18 08:14:05
#2022-10-17 16:39:04