このような証明法を図式追跡と言う

以下のような左R加群の図式(可換図式)を考える

2つの行が完全列

M,Nは左R加群

f,g,hは加群準同型

5項補題

①h_1が全射、h_2,h_4が単射ならば、h_3は単射

②h_5が単射、h_2,h_4が全射ならば、h_3は全射

従って、h_1,h_2,h_4,h_5が同型ならば、h_3も同型である

ちなみに

①,②はそれぞれ4項補題とも呼ぶ

故に、5項補題は、2つの4項補題から得られる、と言える

①の証明

オレンジの数値は示していく順序を振っている

オレンジのn番目は、以下では n という表記で記していく

x\in M_3を、h_3(x)=0を満たすような元であると仮定する

このxが、x=0であることを示すことが目的

∵「準同型写像fが単射」と「Ker f = {0}」は同値

仮定より、0=(g_3\circ h_3)(x)=(h_4\circ f_3)(x)

最初の = は仮定より言える

g_3(0)=0はg_3が準同型写像であることからわかる

2つ目の = は青の正方形の可換性より言える

h_4は単射なので、f_3(x)=0

図中 3 の部分

つまり、x\in\mathrm{Ker}(f_3)がわかる

すると、x\in \mathrm{Ker}(f_3)=\mathrm{Im}(f_2)より

∵完全列

あるy\in M_2により、x=f_2(y)と書ける ... 4

すると、0=h_3(x)=h_3(f_2(y))=g_2(h_2(y))

最初の = は、仮定より

2つ目の = は、 4 より

3つ目の = 、緑の正方形の可換性より

これが、 5 , 6

ここで、 6 より、h_2(y)\in\mathrm{Ker}(g_2)がわかる

すると、h_2\in\mathrm{Ker}(g_2)=\mathrm{Im}(g_1)より

∵完全列

あるz\in N_1により、h_2(y)=g_1(z)と書ける

デジャヴュですね

これが、 7

また、h_1は全射なので、

あるw\in M_1により、z=h_1(w)と書ける

すると、h_2(y)=g_1(h_1(w))=h_2(f_1(w))

1つ目の = は、 7 , 8 より

2つ目の = は、紫の可換性より

両端のh_2(y)=h_2(f_1(w))を 9 とする

ここで、h_2は単射なので、

y=f_1(w)

従って、x=f_2(y)=f_2(f_1(w))=0

1つ目の = は、 4 より

2つ目の = は、 10 より

3つ目の = は、M_1,M_2,M_3が完全列であることより

この辺、何をやっているのかと言うと

最初の仮定では、x\in M_3は、h_3(x)=0という条件でだけであって、xが単位元かどうかは自明ではない

そもそもそれが知りたくで証明している

また、このM_1\xrightarrow{f_1}M_2\xrightarrow{f_2}M_3は完全列であるので、\mathrm{Ker}(f_2)=\mathrm{Im}(f_1)であることも最初からわかっている

つまり、M_1の任意の元を、f_2\circ f_1で写すと、必ずM_3の単位元になることがわかる

そこで、色々迂回していって、f_2(f_1(w))=xであることがわかった

よって、x=0がわかる

従って、x=0なので、h_3は単射である

②の証明

オレンジの数値は示していく順序を振っている

オレンジのn番目は、以下では n という表記で記していく

任意のx\in N_3を取る

この任意のxに対して、x=h_3(w)となるu\in M_3の存在を示すことが目的

h_4の全射性により、あるy\in M_4によりg_3(x)=h_4(y)と書ける

すると、0=g_4(g_3(x))=g_4(h_4(y))=h_5(f_4(y))

1つ目の = は、完全列より。

5項補題#607c43ae19827000009c2faaで言ってることだな

2つ目の = は、 1 より

3つ目の = は、赤い正方形の可換性より

また、h_5の単射性により、f_4(y)=0

これが 2

よって、y\in \mathrm{Ker}(f_4)=\mathrm{Im}(f_3)なので、

あるz\in M_3より、y=f_3(z)と書ける

これが 3

この時、g_3(x)=h_4(y)=h_4(f_3(z))=g_3(h_3(z))

1つ目の = は、 1 より

2つ目の = は、 3 より

3つ目の = は、青い正方形の可換性より

この両端g_3(x)=g_3(h_3(z))を 4 とする

ここ、x=h_3(z)とは言えないことに注意

これより、g_3(x-h_3(z))=0が言える

∵g_3は加群準同型なので、加法の演算を保存する

g(a-b)=g(a)-g(b)

よって、x-h_3(z)\in \mathrm{Ker}(g_3)=\mathrm{Im}(g_2)なので、

あるw\in N_2により、x-h_3(z)=g_2(w)と書ける

また、h_2は全射なので、

あるv\in M_2に対して、w=h_2(v)と書ける

従って、x-h_3(z)=g_2(h_2(v))=h_3(f_2(v))

1つ目の = は、 7 , 8 より

2つ目の = は、緑の正方形の可換性より

この両端を 9 とする

9 より、x=h_3(z+f_2(v))が得られる

従って、u:=z+f_2(v)とすれば、x=h_3(u)

従って、h_3は全射

参考

『層とホモロジー代数』 pp.20-22