準同型定理
from 同型定理
fundamental theorem of homomorphisms
第一同型定理とも言う
ある群とある群から、同型写像を構成する定理
第一同型定理
\varphi:G\to Hを群の準同型とする
\pi:G\to G/\mathrm{Ker}(\varphi)を自然な準同型とするとき、
下図が可換図式になるような準同型\psi:G/\mathrm{Ker}(\varphi)\to Hがただ一つ存在し、
つまりG/\mathrm{Ker}(\varphi)\cong \mathrm{Im}(\varphi)
ざっくり
図にするとイメージしやすい
準同型\varphiから、同型\psiを導き出せるのが嬉しい
上の定理の文章は重要じゃない部分(?)も含んでいるので初見では分かりづらい
もっと削ぎ落として注目できる
\varphi:G\to Hを群の準同型とする
\pi:G\to G/\mathrm{Ker}(\varphi)を自然な準同型とするとき、
定理の図に少し書き足すとわかりやすい
用語の復習
この辺を全部わかっていないと理解できないはず
G,Hは群
\varphi: G\to Hは準同型
\piはwell-definedな写像
G/\mathrm{Ker}(\varphi)は剰余群
元は剰余類
\mathrm{Im}(\varphi)は像Im
特に、\varphiが全射準同型のとき
G/\mathrm{Ker}(\varphi)\cong Hとなる
単純にH=\mathrm{Im}(\varphi)になるからね
何が嬉しいのか
何かしらの証明の際に「準同型定理より~」というふうに使えるのはどういう状況なのか？
ある剰余群G/Kと、ある群Hがあるとする
この2つの群は何か似てるっぽいと感じた
これが本当に同型であることを示したい、と発想する
本来、2つの群が同型であることを示すためには、それらの間に同型写像があることを示さなければならなかい
ここで、準同型定理を使うと、
K=\mathrm{Ker}(\varphi)、H=\mathrm{Im}(\varphi)を満たすような、準同型写像\varphiを見つければ良い
同型写像が必要だったはずが、準同型写像のみを見つけるだけで済むので嬉しい
大きな群Gからの準同型f:G\to Hがあるときに、fについて知りたいとする
Gの全ての元に対してのfの行き先がわかればいいがそれは大変
ここで準同型定理を使うことで、
K\sub \mathrm{Ker}(f)なる部分群に対して、fがG\xrightarrow{\pi}G/K\xrightarrow{\psi}Hなる合成写像で表せるような\psi:G/K\to Hの存在が言える
つまり、fはG/Kにおける値だけを調べれば記述できる
準同型の分解の話だね
特に準同型fが全射の場合、この写像を調べるために
G \rightarrow G' を調べる代わりに， G \rightarrow G/\ker f を調べても良いということを言っている
G,G'の話をしてたはずなのに、Gとその内部のG/\ker fだけで完結する！
G'が出てこない
同型定理の証明に利用できる(らしい)
>準同型定理って、
>
>「任意の写像は全射と単射に分解できる」
>
>って読めるのか！なんかすごい分かった気がする。
証明
具体例
わかりやす
Qのガロア表現
蛇の補題では証明に用いている
参考
『代数学 1 群論入門』 p.63~