補題

2つの行が完全列であるような以下のような左R加群の図式(可換図式)を考える

このとき、以下の完全列が存在する

\mathrm{Ker}(h_1)\xrightarrow{\bar{f_1}}\mathrm{Ker}(h_2)\xrightarrow{\bar{f_2}}\mathrm{Ker}(h_1)\xrightarrow{\delta}\mathrm{Coker}(h_1)\xrightarrow{\bar{g_1}}\mathrm{Coker}(h_2)\xrightarrow{\bar{g_2}}\mathrm{Coker}(h_3)

どの辺が「蛇」なのか

こういうことらしい ref

証明の概要

⓪

① 列\mathrm{Ker}(h_1),\mathrm{Ker}(h_2),\mathrm{Ker}(h_3) の完全性

② 列\mathrm{Coker}(h_1),\mathrm{Coker}(h_2),\mathrm{Coker}(h_3)の完全性

③ 写像\delta: \mathrm{Ker}(h_3)\to \mathrm{Coker}(h_1)の定義

④ 列\mathrm{Ker}(h_2),\mathrm{Ker}(h_3),\mathrm{Coker}(h_1)の完全性

⑤ 列\mathrm{Coker}(h_3),\mathrm{Coker}(h_1),\mathrm{Coker}(h_2)の完全性

図にするとこんな感じ

「完全列である」を示すということは

im = ker

im \sube ker、かつ、ker \sube im

\mathrm{Ker}(g)\sube \mathrm{Im}(f)かつg\circ f=0

のいずれかを示せばいい

証明

参考

『層とホモロジー代数』 p.22~