準同型定理の証明

証明の概要

\psiによって、G/\mathrm{Ker}(\varphi)と\mathrm{Im}(\varphi)が同型になることを示す

\psi(x\mathrm{Ker}(\varphi))=\varphi(x)と定義する

①\psiがwell-definedな写像になっている

②\psiが準同型である

③\psiが全射になっている

④\psiが単射になっている

記号などは準同型定理#6081a28b1982700000a1479aのものとする

x\in Gに対し、\psiを、

\psi(x\mathrm{Ker}(\varphi))=\varphi(x)と定義する

①\psiがwell-definedな写像になっていることを確かめる

目標

同じ剰余類内の異なる代表元より得られた等しい値x \mathrm{Ker}(\varphi), y\mathrm{Ker}(\varphi)を、

それぞれ\psiで写したもの\varphi(x),\varphi(y)も等しい

ことを示せばいい

x\mathrm{Ker}(\varphi)の別の代表元yを取ると、

\exist k\in \mathrm{Ker}(\varphi)[y=xk]と書ける

故に、\varphi(y)=\varphi(xk)=\varphi(x)\varphi(k)=\varphi(x)1_H=\varphi(x)

となり、\psiは、G/\mathrm{Ker}(\varphi)からHへのwell-definedな写像となる

補足

3番目の = は、群の核Kerより

②\psiが準同型であることを確かめる

a,b\in Gを用いて

\psi(a\mathrm{Ker}(\varphi) b\mathrm{Ker}(\varphi))=\psi(ab \mathrm{Ker}(\varphi))=\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)=\psi(a\mathrm{Ker}(\varphi))\psi(b\mathrm{Ker}(\varphi))

となるので、\psiは準同型写像

補足

1つ目の = は、剰余類の積

2,4つ目の = は、\psiの定義

3つ目の = は、\phiが準同型だから

③\psiが全射であることを確かめる

\phi(x)\in \mathrm{Im}(\varphi)を取ると、\psi(x\mathrm{Ker}(\varphi))=\varphi(x)になる

故に全射

補足

\mathrm{Im}(\varphi)\sub Hだからね

④\psiが単射であることを確かめる

目的

「\psi(x)=1_{\mathrm{Im}(\varphi)}ならば、x=1_{G/\mathrm{Ker}(\varphi)}」を言えばいい

ref 「準同型写像fが単射」と「Ker f = {0}」は同値

1_{G/\mathrm{Ker}(\varphi)}とはつまり、\mathrm{Ker}(\varphi)のことだよ

ref 剰余群

だから、結局「\psi(x)=1_{\mathrm{Im}(\varphi)}ならば、x=\mathrm{Ker}(\varphi)」を言えばいい

\psi(x\mathrm{Ker}(\varphi))=1_{\mathrm{Im}(\varphi)}とする

\phi(x)=1_{\mathrm{Im}(\varphi)}となるので、x\in \mathrm{Ker}(\varphi)である

\phiの核の定義を考えればわかる

よって、x\mathrm{Ker}(\varphi)=\mathrm{Ker}(\varphi)

よって単射

②~④より、\psi:G/\mathrm{Ker}(\varphi)\to \mathrm{Im}(\varphi)は同型