完全列の定理
完全列の定理いくつか。
証明の際に参照されるので、できるだけ見出し部分は修正しないようにしないと
>図式0\xrightarrow{f}M\xrightarrow{g}0が完全列であることと、M=0は同値
>図式0\xrightarrow{f} M\xrightarrow{g}Nが完全列であることと、gが単射であることは同値
証明
準同型写像fの像は0なので、
0\xrightarrow{f} M\xrightarrow{g}Nが完全列\iff\mathrm{Ker}(g)=0\iffgは単射
補足
2つ目の\iffは、「準同型写像fが単射」と「Ker f = {0}」は同値より
>図式M\xrightarrow{f}N\xrightarrow{g} 0が完全であることと、fが全射であることは同値
証明
準同型写像gの像は0なので、\mathrm{Ker}(g)=N
故に、0\xrightarrow{f} M\xrightarrow{g}Nが完全列\iff\mathrm{Im}(f)=\mathrm{Ker}(g)=N\ifffは全射
>図式0\to M\xrightarrow{f}N\to 0が完全列であることと、fが同型写像であることは同値
>図式0\to M_1\xrightarrow{f_1}M_2\xrightarrow{f_2}M_3\to 0が完全列であることと、M_3\cong M_2/{\mathrm{Im}(f_1)}であることは同値
証明
故に
「完全列である」\iff\mathrm{Ker}(f_2)=\mathrm{Im}(f_1)
\iff M_3\cong M_2/\mathrm{Ker}(f_2)\cong M_2/\mathrm{Im}(f_1)
>p.19 (2)
>任意の左R加群の準同型写像f:M\to Nに対して、以下の3つは完全列である
>(1) 0\to \mathrm{Ker}(f)\xrightarrow{i}M\xrightarrow{f}\mathrm{Im}(f)\to0
>(2)0\to \mathrm{Im}(f)\xrightarrow{i}N\xrightarrow{p}\mathrm{Coker}(f)\to0
>(3)0\to \mathrm{Ker}(f)\xrightarrow{i}M\xrightarrow{f}N\xrightarrow{p}\mathrm{Coker}(f)\to0
証明
(1)
これがわからん
特に「iの単射性より〜」
>
参考
『層とホモロジー代数』 p.18~