雑に読む『圏論の道案内』
>圏論は最近人気がある数学の分野の１つで，その考え方はプログラミング，人工知能，物理など幅広い分野に応用されています。本書はそんな圏論を一から知りたい人に，圏論とは何かをわかりやすく解説していきます。
折角なので借りてみた
本の構成
対話形式
各節の最後にまとめがあるので、それだけ読めば定義は把握できる
1章
関連書籍
圏論とは？
「異なるものの間の同じさ」をシステマティックに扱う数学的な枠組み
p.7
2章
①圏の定義１：対象と射、域と余域
圏 (category) は対象 (object) と射 (arrow, morphism) とからなるある種のシステム p.18
対象も射も、圏の公理を満たしている限り何でも良い
圏の公理って何？
本によっては恒等射も
ほかに圏のパーツとなるものがあるので書いていく
圏のパーツ
対象
射
イメージで言うと矢印
何かから何かに向いたその道筋みたいなもの
例：のぞみ号の駅
博多→小倉→広島→岡山→新神戸→新大阪→京都→名古屋→新横浜→品川→東京
上の矢印が「射」、各駅が「対象」にあたる
射には必ず域と余域がある
上の博多→小倉だと、
domainは博多
codomainは小倉
博多 \overset{f}{\to} 小倉\overset{g}{\to}広島\overset{h}{\to}岡山\overset{i}{\to}新神戸
対象と対象の間にどれだけ射があるかとかは関係ない
一つの場合もあるし、複数の場合も、無限にある場合もある
0の場合もあるよ
「集まり」は空になりえるから
いや待てよ？恒等射が必ずあるか？
いや違うな、相異なる対象の間には恒等射はないからな
博多から小倉に行くのぞみは平日44本あった
仮に「博多から小倉への平日ののぞみ」を射fとすると、44本の射が作れる
これが可換に関係していた
>射f,gについて、{\rm cod}(f)={\rm dom}(g)であるなら、f,gの合成 (composition) と呼ばれる {\rm dom}(f)から{\rm cod}(g)への射が一意に存在する。これをg\circ fと書く。
p.24
ふたたびこれで見てみる博多 \overset{f}{\to} 小倉\overset{g}{\to}広島\overset{h}{\to}岡山\overset{i}{\to}新神戸
このとき{\rm cod}(f)=小倉、{\rm dom}(g)=小倉であるので、博多から広島への射が一意に存在する
これがg\circ f
博多 \overset{g\circ f}{\longrightarrow}広島
矢印で考えるとfしてからgするのになんでf \circ g じゃなくて g \circ f なんだろという気持ちになるけど、関数で考えると (g \circ f)(x)=g(f(x))なんだよね
射の合成記号g\circ fはグラフと逆になって混乱しがちなので、f;gもしくはf⨟gを使うといいかも
a\overset{f}{\to}b\overset{g}{\to}cはa\overset{f⨟g}\to cと書ける
いや、本に頻出する記法に慣れる方が優先でしょう。同じものの二通りの表現方法の本が使わない方を使うと混乱が深まる
たしかに
またこの本では、図式を左右反対にする事で対処してて、うまいやり方だとおもった
rtf-composition.pu@startdot
digraph associative {
rankdir = RL;
node [fontsize = 11, shape = circle, style=rounded ];
s1 [label="博多"];
s2 [label="小倉"];
s3 [label="広島"];
s1 -> s2 [label="f"]
s2 -> s3 [label="g"]
s1 -> s3 [label="g∘f"]
}
@enddot図式を逆にする方式で書き換えるとこうかな：
ふたたびこれで見てみる新神戸\overset i\gets岡山\overset h\gets広島\overset g\gets小倉\overset f\gets博多
このとき{\rm cod}(f)=小倉、{\rm dom}(g)=小倉であるので、博多から広島への射が一意に存在する
これがg\circ f
広島\overset{g\circ f}{\longleftarrow}博多
下りにするともっと良さそう
博多←小倉←広島←...←東京
なるなる
>射f,g,hについて、{\rm cod}(f)={\rm dom}(g)かつ{\rm cod}(g)={\rm dom}(h)であるならh \circ(g \circ f)=(h \circ g) \circ fである。言い換えれば
>（図式）
>は可換である。この関係式を結合律 (associative law) と呼ぶ。
p.29
ここで射に対する「等しい」が使われてるね
可換な図式を可換図式と呼ぶ
associative.mmdgraph RL
A((A)) -- f --> B((B))
B -- g --> C((C))
A -- g∘f --> C
B -- h∘g --> D
C -- h --> D((D))可換とは？
写像の定義で考えるとかなり謎
可換でない写像は考えられないから
可換でない図式をしりたい
p.28に書いてあった
なにも理解してなかった反省
AからBへの射は複数あってもいい。対象と対象の間にどれだけ射があるかとかは関係ない雑に読む『圏論の道案内』#659fe4975e90c00000cb2b48
写像でもおなじ
ところで図式ってなんだろう？
>西郷＜射の合成を定義したから、合成できればなんでも良いわけではないという話をしよう。だがその前に、圏論といったらこれ、というほど頻出する「図式」というものを説明しておくことにする。厳密に定義しようとするとなかなか奥深い概念なのだが、ひとまずは「対象と射の関係を図示したものを図式（diagram）と呼ぶ」と捉えてくれ。
p.27
はい
\forall Aに対して以下の条件を満たす射iが一意に存在する
1. {\rm dom}i={\rm con}i=A
2. \forall f,gについて
1. i\circ f=f
2. g\circ i=g
この条件は、以下の図式が可換図式であることと同値である
identify.mmdgraph RL
Y((Y)) -- f --> A1
A1((A)) -- i --> A2((A))
Y -- i∘f --> A2
A1 -- g∘i --> X
A2 -- g --> X((X))こっちのほうがわかりやすいかも.mmdgraph RL
Y((Y)) -- f --> A((A))
A -- i --> A
Y -- i∘f --> A
A -- g∘i --> X
A -- g --> X((X))1_Aと書くことにする
これは恒等写像と同じ記法
この演算則を単位律と呼ぶ
{\rm dom}f={\rm con}fだけでは恒等射にならないことに注意
例えば集合圏\bf SETの射f:\underbrace\N_{始域}\ni n\mapsto 2n\in\underbrace\N_{終域}は{\rm dom}f=\N={\rm con}fだが恒等射ではない
問題：恒等射の一意性を証明せよ
5行くらいでできる
ひえー
もしも恒等射がたくさんあったらと考える？
やってみたんだけど、この問題文って「存在するなら一意であることを示せ」じゃなくてOK？
「存在すること」を使わずに「存在すること」を証明するのは無理じゃない？
>対象AからBへの射fが可逆 (invertible)であるとは、対象BからAへの射gでg\circ f = 1_Aかつf\circ g = 1_Bをみたすものが存在するときにいう。このときgをfの逆射 (inverse)、あるいは単に逆と呼び、f^{-1}と書く。可逆な射を同型射 (isomorphism) と呼ぶ。対象AからBへの射が同型射であるとき、AとBといは同型 (isomorphic) であるといい、A\cong Bと書く。
p.37
さてどういうことだ
inverse.mmd graph RL
A1((A))-- f -->B1
B1((B))-- g --> A1
A1-- 1A -->A1
B1-- 1B -->B1こういう図があるとする
g\circ fはどうなるかっていうと
{\rm dom} (g) ={\rm cod} (f)=B, んで{\rm dom} (f) =\ {\rm cod} (g)=Aなので合成できる（下のnishioさんの指摘で直し済み）
合成の定義を確認する
>射f,gについて、{\rm cod}(f)={\rm dom}(g)であるなら、f,gの合成 (composition) と呼ばれる {\rm dom}(f)から{\rm cod}(g)への射が一意に存在する。これをg\circ fと書く。
{\rm dom} (g) = {\rm cod} (f) = Bで{\rm dom} (f) = {\rm cod} (g) = Aなので合成できる
これでg\circ fができる
域と余域はどうなったか
しかしg\circ fとは1_Aか？
f,gにg \circ fを合成しても元通りになることをいえばいい
思い出しタイム
2. \forall f,gについて
1. i\circ f=f
2. g\circ i=g
追記：この下も書き方を大いに間違えている
fにg \circ fを合成すると
{\rm dom} (f) \ {\rm cod} (f)に{\rm dom} (a) \ {\rm cod} (b)を合成
これは{\rm dom} (a) \ {\rm cod} (b)になる、すなわちfである、もとと変わんない
gfにgを合成すると
dom b cod a に dom a cod aを合成
これもdom b cod aのまま、すなわちgだ
なのでgfは1aと同じはたらきだ！
今度はこれをfgでやるのか..
というか一般的には存在しないのでここまでの定義から導出はできないかと。
むむむ...
例題を出そうと思ったけどまだ圏の具体例があんまりないから逆写像の有無の話になっちゃったな...
あんまり良くないかもしれない
問1: 偶数 から 奇数 への射 f(x) = x + 1は可逆か？
問2: 実数 から 整数 への射 「切り捨て」は可逆か？
>対象AからBへの射fが可逆 (invertible)であるとは、対象BからAへの射gでg\circ f = 1_Aかつf\circ g = 1_Bをみたすものが存在するときにいう。
まずfがある
域はA、余域がB
このfが可逆であるためには次の条件が必要
BからAの射gで、gf=1_Aかつfg=1_Bをみたすものが存在する
gfはfとgの合成、fgはgとfの合成
1_Aは対象Aの恒等射、1_Bは対象Bの恒等射
困ったときのひらがな圏を頼ろう
対象:ひらがな
射:ある文字から次の文字に行く操作
合成:文字列
ひと、とり を合成して ひとり にする
恒等射:１文字のひらがな
結合律:例えば
ひ（とり） と （ひと）り を同じものとみなす単位律:...?
ここがまだよくわかってなさそう
逆写像に相当する概念
インデント的に圏のパーツみたいになってるけど違うよね
Yes、これは圏の定義の中には入っていない
水を差すぞい
もろもろは大丈夫ですか！
大丈夫くない。田中賞を受賞した橋梁の選考理由から当時の日本の時代背景を推測する作業がある
離脱！！！！
圏論の説明助かりました！良き課題進行を願いております！
2024/01/17も先置きで水差ししておく
ウケる
要約だけ読めて助かる
書籍の要約サービスか！？
修正助かる
\rm、あと小さい丸
∘ はIMEで入力しにくいので、そんなに気にしなくていいですよはい
借りた初日に完全に理解したけど、何でこんなのを定義したのかわからなかったので、まだ何もわからないには至っていない
雑に読むとは
雑に読んでいいのよ
雑に読まない人がツッコミを入れる()
「雑に読まない人」の表現は違う気がした
「雑に読まない人」
雑でない読み方をしてる人: 今回の僕は読んでないのでこれじゃない
本を読まない人: これは正しい
本を読まないで、本を読んだ人の書いた文章の整合性を検証する人: これっぽい