偶数から奇数の射f(x)=x+1は可逆か？
from 雑に読む『圏論の道案内』
のりしろ
偶数から奇数の射f(x)=x+1は可逆か？
まず可逆の定義をここに貼る
>対象AからBへの射fが可逆 (invertible)であるとは、対象BからAへの射gでg\circ f = 1_Aかつf\circ g = 1_Bをみたすものが存在するときにいう。このときgをfの逆射 (inverse)、あるいは単に逆と呼び、f^{-1}と書く。可逆な射を同型射 (isomorphism) と呼ぶ。対象AからBへの射が同型射であるとき、AとBといは同型 (isomorphic) であるといい、A\cong Bと書く。
>対象AからBへの射fが可逆 (invertible)であるとは、対象BからAへの射gでg\circ f = 1_Aかつf\circ g = 1_Bをみたすものが存在するときにいう。
これがf(x)=x+1で成り立つかを調べたらいいんだな
偶数と奇数の圏は圏であるか？
対象はある、それぞれの数
射はある、何らかの演算
x+1とかx \times 2とか
割り算はダメっぽそう
合成は？
演算同士を合わせるとできそう
恒等射はあるか？
らしきものはある。一意には思えない
f(x)=x+0, f(x)=x+2, f(x)=x+4...って無数に恒等射らしきものが出てくるのでは
いや、上は違う、恒等射が存在するのは各対象に対して
だからたとえばf(x)=x×1の演算であれば対象はもとのまま
恒等射はある
f(x)=x+1をfとしよう
fの域は偶数、余域は奇数
dom f = 偶数, cod f = 奇数
inverse.mmdgraph RL
A1((偶数))-- f -->B1
B1((奇数))f(x)=x+1の演算をもう一回やると偶奇が反転する
↑ページのタイトルと、書かれている内容のレイヤーが1段ズレている気がします
「偶数から奇数の射(矢印)」と言ったときどっちの話をしているか
①集合圏Setの中の話
対象は集合
e.g. 偶数という集合、奇数という集合
射は集合間の写像
...
なるほど、これまで自分は集合の要素を対象として考えてたけど、そうじゃなくて偶数の集合と奇数の集合が対象なのか
②偶数の圏、奇数の圏
対象は数
e.g. 偶数の圏の対象は、2,4,6,...
射は、例えばf(x)=x*1とか
恒等射のみということ
こっちで考えてましたね
こっちだとすると、ページのタイトルの「偶数から奇数の(矢印)」とは、
圏から圏への矢印のことなので、射ではなく関手ということになる
ふへー（未接近概念）
図を書いてみるとわかりやすいかも
ありがとうございます
圏においては図式が大事らしいのでバンバン図を書くべきかもしれない
・・・・・・・・・・・・・・・・・というわけで
たぶん①の方で考えなくてはならない
集合圏とはいったいなんなんだアンタ
1のつもりだった
が、とりあえず「恒等射」の概念にあやふやさがあることがわかった
僕の理解が正しければ圏論は関数(写像)を抽象化して射の概念にして関数以外のものにも使えるようにしたものなのだけど、まず「偶数から偶数への恒等写像」とか「f(x)=x+1の逆関数(逆写像)」とかはサッとわかるのだろうか？
まだサッとわからない。ふたたび集合から当たる必要がありそう
今回の圏
対象
偶数の集合
{2,4,6,8,...}
奇数の集合
{1,3,5,7,...}
射
f(x)=x+1
偶数に1を足せば奇数になる
合成
うーん...
恒等射
うーん...
f(x)=x×1 が許されるならこれだと思うけどどうなんだろ
定義に帰れ
論理と集合から始める数学の基礎の出番だー
なるほど
まず関数の合成があって、これは射の合成に求められている特徴を全部持っている
ということを今は一旦認めて先に進むのでもいいかも