始域と終域が等しくても、同じ射だとは限らない
このタイトルの主張が間違いな気がしてきた
「(のか？)」とつけといた
やっぱり正しい気がしたので外した
from 雑に読む『圏論の道案内』
文脈: 非可換図式の例を考えている間に「始域と終域が等しいと同じ射なのか」が議論になった
タイトルとミスマッチなので切り出します✅
f:\underbrace\N_{始域}\ni n\mapsto 2n\in\underbrace\N_{終域}
g:\underbrace\N_{始域}\ni n\mapsto 3n\in\underbrace\N_{終域}
{\rm dom}f={\rm dom}g\land{\rm cod}f={\rm cod}gだがf\neq gである
n=1の場合
f 1->2
g 1->3
n=2の場合
f 2->4
g 2->6
具体例で考えないほうがいいやつかこれ？
2と3、4と6は自ずから違うので「終域が同じ」ということが飲み込めない
終域は具体的な数字ではない。\Nが終域
補足した
はぁ〜そういうことがある（嘆息）
もちろん、わかっていない
これは「始域と終域が等しいが違う射の例」として適切だと思う
理解ができていないからか、適切に見えない
本を持ってないのに参加している・・
わいわい
2nと3nの話
下の偶数奇数は例として正しそう
それは「2nの場合、奇数になることがないから『終域が整数』ではないのでは？」ということ？
整数より狭い何かに見える、別に整数の一部でしょ、ということもできると思うけど・・
これ+1
圏の定義において対象が先に定まるので、射の性質によって対象が定まるのではない
なるほど、そういうものなのかー
Scrapboxのまとめだけ見てもだめだな
次の例なら納得行くかもしれません
h:\underbrace\R_{始域}\ni n\mapsto 2n\in\underbrace\R_{終域}
i:\underbrace\R_{始域}\ni n\mapsto 3n\in\underbrace\R_{終域}
こちらは納得ですが\Nのときは依然としてもやもやします
もやもやするのはわかります。しかし写像の相等の定義から考えると、終域は写像の像を含んでいるものなら正直いくら大きいものを持ってきてもいいのです
なのでf,gも「始域と終域が等しいが等しくない射の例」ではあるはず
ただご指摘どおりもやもやするので、あんまりいい例ではなかったかも
始域と終域が等しくても、同じ射だとは限らない#65a655c6aff09e000055c68c、始域と終域が等しくても、同じ射だとは限らない#65a71dd41280f000001899cfで、ふーんそういうものか、となったのでOKです
OK
たぶん「矢印」「駅を結ぶ電車」のイメージを持っているので「始点と終点」みたいに「点」のイメージを持ってしまっている
実際持っている
しかし「整数全体から整数全体への写像」とかも射の具体例の一つ
九州から九州、みたいな
どこまでも地名でやろうとする致命的な取り組み
「東京メトロの駅から東京メトロの駅への行き方」も射になりうる
この例を深追いすると混乱するから自然数の例の方がマシだなw
待てよ、「始域と終域が等しい」に2通りの解釈があってそこでも混乱しうるのか
ここで言ってるのは{\rm dom}f={\rm dom}gかつ {\rm cod}f={\rm cod}gのことであって
{\rm dom}f={\rm cod}fのことではない
こちらは恒等射？
恒等射ではない: [" {\rm dom}f={\rm con}fだけでは恒等射にならないことに注意]
条件のひとつか（見に行った）
「偶数から奇数への写像」を考える
「1を足す」と「1を引く」は両方「偶数から奇数への写像」で始域と終域が等しい
ふむふむ
下記のようにf, gを定義する
f:n\mapsto n+1
g: n\mapsto n-1
{\rm dom}f = {\rm dom}g = 偶数
この時
{\rm cod}f = {\rm cod}g = 奇数
になる
domとcodが同じだけどfとgは別物...としたくなる...
するかしないか...
これ結局射の等しさの定義に帰着する気がするな
何もわからなくなった()
今回は集合圏に特定しているので、f=g:\iff{\rm dom}f={\rm dom}g\land\forall a\in{\rm dom}f.f(a)=g(a)でいい……はず
むしろ「関数として見た時には区別したくなるが、圏論の立場からはこれらを区別する意味はないのでf=gである」が正解な気がしてきたぞ
「マグカップとドーナツを違う形だと考えがちだが、トポロジーの観点からは同じ形」ってのと似たニュアンス
いや、違うか
or each pair of objects a collection of morphisms (sometimes call "arrows") from one to anotherなのだからeach pair of objectsに対してa collection of morphismsがあるので、そのcollectionの中には複数の異なるmorphismsがあるか
"a collection of morphisms"と"morphism"の区別が重要
「始域と終域が等しい」なら"a collection of morphisms"は1つに決まるので「同じ」、"morphism"は複数ありえるので「同じとは限らない」になる
だと思います。実際、対象が1つしかないが、射は無数にあってもいい圏としてmonoidを取り上げられています
『圏論の道案内』 p.45 - 49
留意点として、常に入力値と出力値があるとは限らない点に注意
今回はたまたまf(1)=2という計算が可能だっただけ
圏の定義には入力があるとも出力があるとも記されていない。
f,A,Bは数でなくとも集合でなくとも全く構わない
fから始域と終域A,Bが特定できるならなんでもいい
そのため集合圏を使うのはうまいたとえではない
集合の概念に引っ張られてしまう
射の定義を確認すべき
『圏論の道案内』ではもうすこしで集合圏以外の圏の例が出てくるので、それらの圏で「始域と終域が等しくても、同じ射だとは限らない例」を作ると違った見方ができるかも