Hom関手と

反変Hom関手と

Hom関手間の自然変換について

まず局所的に小さな圏\mathscr{A}について見る

\mathscr{A}の対象Aを固定した前提で、適当に対象Xを選ぶ

射A\rightarrow Xは、一本とは限らず、複数ありうるので、これを集合\mathscr{A}(A,X)と表記する

\mathscr{A}(A,X)は「集合」なので、「集合の圏Setの対象」の一つである

つまり、対象X\in\mathscr{A}を選ぶごとに、「Setの中の対象」と対応が取れる

関手っぽい！

Hom関手の話

ここで、関手h_A:\mathscr{A}\rightarrow\mathrm{Set}を考える

上の説明ですでに対象の対応は取れている

h_A(X)=\mathscr{A}(A,X)

以下では、射の対応について見てみる

\mathscr{A}の射f:X\rightarrow Yがある状況で、h_A(f)はどんな射になるのか

ちなみにh_A(f)は\mathrm{Set}上の射であるので、馴染み深い一般的な写像の一種として見ることができる

圏\mathscr{A}上で、射a\in\mathscr{A}(A,X)と射fの合成f\circ aに注目する

fとの合成を考えるなら

\mathscr{A}(A,X)から一つの射を選ぶと

\mathscr{A}(A,Y)の射の一つになる

これはまさに写像

この関係をh_A(f)として定義する

つまり、a\in\mathrm{Hom}_\mathscr{A}(A,X)について

h_A(a)=f\circ aとなるようなfを選んだときの、h_A(f)

わかりにくいが、これで確かにh_A(f):\mathscr{A}(A,X)\rightarrow\mathscr{A}(A,Y)が定義されているのがわかる

ここでは確認しないが、h_Aは、関手としての残りの条件も満たす

合成の保存と、恒等射の保存

以上によりh_Aは関手であり、これのことをHom関手と呼ぶ

添字のAは、\mathscr{A}のドメインとして、対象Aを固定していることを表している

\mathscr{A}(A,-)とか\mathrm{Hom}_\mathscr{A}(A,-)と表記することもよくある

もっと具体的な話はHom関手と関数型(->)を参照

反変Hom関手について

先程までは圏\mathscr{A}のドメインをAと固定していたが、次はコドメインBを固定したものを考える

向き先が異なるだけなので、さっきと全く同じ議論の展開ができる

Xを決めるごとに、Setの対象\mathscr{A}(X,B)が対応する

この時点で関手の対象については対応が取れている

ここで、さっきと同様に射f:X\rightarrow Yを考える

この一点に関しては注意が必要で合成される向きがさっきと異なる

下図の左がさっきの話で、右が今の話

左右の図でそれぞれ

x\in\mathscr{A}(A,X), y\in\mathscr{A}(A,Y)

x\in\mathscr{A}(X,B), y\in\mathscr{A}(Y,B)

とすると、fとの合成できる向きが異なっている

左では、y=f\circ xだが、

右では、x =y\circ fだ

話を戻すと、\mathscr{A}\rightarrow Setへの関手^Bhを考えた時、

射の対応は、b\in\mathscr{A}(Y,B)について^Bh(b)=b\circ fとしたときの集合間の写像^Bh(f)になる

この関手は、写し先が入れ替わる反変関手になっているので、反変Hom関手と言う

次に、Hom関手間の自然変換について見ていく

この自然変換を理解するためには、上の2つの理解があると楽

まずは難しく考えずに単に固定する対象を増やしてA,A'を固定して全く同じことを考えてみよう

A,A'は両方ともドメインとして考えるので、最初に書いたHom関手の話と全く同じ

ただ、2つあるというだけ

下図は\mathscr{A}の射集合の位置に、Setの方で対応するHomを書いているので、菱形と正方形みたいになってる

全く新しいことは出てきてない

次に、この図を視点を変えてみる

今までは、(A,X,Y)を1セットとして見てきたが、

ここでは、(X,A,A')を1セットとして見てみよう

するとこれは、コドメインXを固定して、適当にA,A'を選んだものと見れる

射a:A'\rightarrow Aを考えると、反変Hom関手の話と全く同じ議論の展開ができる

反変関手なので、縦方向の矢印が\mathscr{A}とSetで逆向きになっていることに注意

今見たh_a:h_A\Rightarrow h_{A'}がまさに、Hom関手間の自然変換になっている

自然変換は射の族なので、

^Xh(a)や^Yh(a)の集まりh_aが自然変換

つまり、A,A'に着目したときのHom関手が、

X,Yに着目したときの自然変換になっている

逆に、X,Yに着目したときのHom関手は、

A,A'に着目したときの自然変換になっている

関手圏Funを見てみる

また、今の話を別視点で見ると、

\mathscr{A}とSetの間の関手は、圏になっていることがわかる

これは関手圏\mathrm{Fun}(\mathscr{A},\mathrm{Set})だ

対象はh_A

さっきの関手

射はh_a

さっきの自然変換

さらにメタに、圏\mathscr{A}と関手圏\mathrm{Fun}(\mathscr{A},\mathrm{Set})の対応を見てみる

これも関手と見ることができる

対象Aを決めると、関手h_Aが決まり、

射a:A'\rightarrow Aを決めると、自然変換h_a:h_A\Rightarrow h_{A'}が決まる

下図のような対応になっている

これまた、関手によって射の向きが逆転しているので

\mathscr{A}から\mathrm{Fun}(\mathscr{A},\mathrm{Set})への関手は、反変関手である

\mathscr{A}の代わりに、矢印が全逆転して双対圏\mathscr{A}^\mathrm{op}を考えれば、反変関手ではなく、普通の関手として見ることができる

関手で写した時に矢印の向きが逆転しなくなった

に従って、この「\mathscr{A}^\mathrm{op}から\mathrm{Fun}(\mathscr{A}^\mathrm{op},\mathrm{Set})への関手」を^{()}hと書くと便利

対象では、A\xrightarrow{{}^Ah} {}^Ah

射では、a\xrightarrow{^ah}{}^ah

だからな

参考

『圏論の道案内』 3章、4章