反対圏、逆圏ともいう

元の圏と同じ対象を持ち、矢印の向きだけを反転させた圏

圏\mathscr{A}の双対圏は\mathscr{A}^\mathrm{op}と表記する

oppositeのop

A^*と表記することもある

元の圏と双対圏

対象

同じ

\mathrm{ob}(\mathscr{A}^\mathrm{op})=\mathrm{ob}(\mathscr{A})

射

向きが逆

f^\mathrm{op}:B\to A

恒等射

同じ

合成

引数の順序が逆転する

\mathscr{A}の射A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C

\mathscr{A}^\mathrm{op}の射A\xleftarrow{f}B\xleftarrow{g}C

を、考えるとA\xrightarrow{g\circ f}CとA\xleftarrow{f\circ g}Cになるってだけ

つまりf^\mathrm{op}g^\mathrm{op}=(gf)^\mathrm{op}になる

性質

fがエピ射のとき、かつそのときに限り、f^\mathrm{op}はモノ射になる

逆もしかり