Hom関手と関数型(->)
Hom関手について、丁寧に見てみるとHask圏の構造については知っている前提で進める
Hom関手の良い例として関数型
(->) が考えられるこれは型引数を2つ取る型コンストラクタであり、
2つのうちのいずれかを固定することで関手になることができる
Reader e a で考えても同じだが、関数型で考えたほうが直感的でわかりやすいと思うHom関手について見る
まずはドメイン側を固定したものを見る
例によってHask圏を考える
対象としての型がいくつか考えられるが、今回は
Int をドメインとしての対象として固定するすると関手
(->) Int を考えられる Int とは別の型 X を決めるごとに、新たな型 (->) Int X が得られる (->) Int X はHaskellにおける型であるので、Hask圏の対象の一つである (->) Int X は Int -> X と表記することもでき、全く同じ意味であり、今回は前者を用いると、言いながら↓の図では後者で描いてるな
ここで例として
Bool と Char を置いてみた (->) Int を関手と見ることで、 (->) Int Bool と (->) Int Char という対象への対応が取れる (->) Int 関手はドメインもコドメインも同じHask圏であるので、これは自己関手の一種となる対象についての対応はわかったので、射の対応についてみてみよう
射の対応は、ここでは
Int -> Bool という型の関数を一つ選択して、 f :: Bool -> Char と合成すると、 Int -> Char という型の関数となりその対応が
(->) f 、つまり fmap f になるのだったどういうことか？具体的に見ていこう
Int -> Bool という型の関数もいくつも考えられるodd
even
isNegativeZero
etc.
同様に
Int -> Char という型の関数もいくつも考えられるintToDigit
chr
etc.
ここで、
f を以下のように定義するhsf :: Bool -> Char
f True = 't'
f False = 'f'例えば、
Int -> Bool という型の関数から、 even を選び、 f と合成するこの
f . even は Int -> Char という型の関数群の一つである f . even と全く同じ挙動をする関数は関数合成を用いなくとも定義できるhsfev :: Int -> Char
fev n = if odd n then 'f' else 't'これが
(->) f の対応であるつまり、Haskの写し先では
(.) f という関数を、 even に適用すると、 fev が出てくるイメージ的には
((.) f) even == fev 関数型
(->) r のFunctorの定義は以下のようなものだったhsinstance Functor ((->) r) where
fmap = (.)定義にもあるように
fmap は、関数合成 . で定義されている写し先のHask圏で成り立っているかを確認しよう
省略するが、残りの関手の定義である合成の保存と恒等射の保存も成り立つ
以上により、
(->) Int は、Hask圏におけるHom関手であることがわかった以下ではコドメイン側を固定した関手
(->) _ Int を考える反変Hom関手について見る
(->) や (,) は1つ目、2つ目のどちらを固定するかで共変か反変かが変わる「2つの型引数を取る型コンストラクタ」ではなく、↑これら2つに関しての話か。
1つ目を固定した場合
例えば
(->) Int という1つの型引数を取る関手を考えるこれは、共変関手となる
これは上の普通の関手の議論と同じなので省略
2つ目を固定した場合
例えば
(->) _ String という1つの型引数を取る関手を考えるこれは、反変関手になる
なぜ #??
共変関手だと考えるとどういった不都合が生じるの？