Hom関手の双対

前層である

\mathscr{A}から\mathrm{Set}への反変Hom関手H_A:\mathscr{A}^\mathrm{op}\to\mathrm{Set}

Hom関手では、Aを固定して、\mathrm{Hom}_\mathscr{A}(A,-)を考えたが、

その逆、後ろ側を固定して\mathrm{Hom}_\mathscr{A}(-,A)を考える

この図のH_Aが、圏\mathscr{A}から集合の圏Setへの反変Hom関手

図の説明

Aを固定して、適当なXからAへの射の集合が\mathscr{A}(X,A)

これは集合なので、Setの対象である

XからYへの射がf

X\to Yの向きと、\mathscr{A}(X,A)\leftarrow\mathscr{A}(Y,A)の向きが逆転している

関手の定義

対象について

Hom関手と同じ

適当にXを選ぶと、対応した集合\mathscr{A}(X,A)が決まる

つまり、H_A:\mathscr{A}^\mathrm{op}\to \mathrm{Set}は

X\mapsto \mathscr{A}(X,A)で定義される

射について

射の対応は、\mathscr{A}の射f:X\rightarrow Yとの合成を考えれば良い

H_Af:\mathscr{A}(Y,A)\to\mathscr{A}(X,A)は

g\mapsto g\circ fで定義される

H_Afは、\mathscr{A}(f,A)とか-\circ fのようにも表記される