極限の延長としての引き戻しを考える

参考

『圏論入門』 p.76-

下図のような圏Jを添字圏とした図式 (圏論)の極限が引き戻し

圏\mathscr{A}への図式を考え、さらに錐を考える

錐や極限を完全に理解できている前提

忘れてたら ref {2,2,3,3}の部分集合の圏で直積と極限を見る

関手Fの対応を色で示した

錐を考える

下図の(X, \{x_0,x_1,x_2\})が錐であってほしい

錐の射の条件として、上の2つの三角形が可換になることが求められる

式で書くなら以下の2式が両方成立してほしい

x_0=a_1\circ x_1

x_0=a_2\circ x_2

この2式からx_0を消去するとa_1\circ x_1=a_2\circ x_2

この式を考えることで、中央の射が消えた図を考えても同等だということがわかる

逆に、この式から元の式も復元可能

この式変形が前提でいつもよく見る引き戻しの四角形ができている

ここ説明されないので難しく感じるポイントだよな

話を戻して、錐はX以外にも条件を満たせば複数ありうる

当たり前だが、下図は全部圏\mathscr{A}内の話

例えば、X,Y,Zも書き足してみた

X,Y,Zそれぞれで錐の条件が成り立っているものとする

さらに同列にLも書き足してみる

図2

LとX,Y,Zの異なる点は、Lへの射があること

つまり、Lは錐の圏を考えた際に終対象になる(後述)

この図から、本質的に同じことを言っているY,Zを消去すると、よく見る引き戻しの図になる

複数の錐を考えることで、錐の圏Cone(\mathscr{A},F)が考えられる

図2を参考に錐の圏を書いてみる

錐の圏の終対象が極限なので、今回はこのLが極限になる

L=\lim_\leftarrow Fと表記する

圏\mathscr{A}に戻すと、下図のように

任意の錐となる対象Xから、終対象としての錐L

への射fが一意に定まる

この形は、直積の図に全く似ている

形を合わせて書くと下図のようになる

なのでLのことを、直積っぽくかいてA_1\times A_2と表記することもある

特に\timesはA_0により定まるので

L=A_1\times_{A_0}A_2と表記する

こういう図の上部の三角形を

正方形に書くことで、いつもの引き戻しの図になっているだけ