そもそも重複のある集合で考えていいのか？みたいな話はいったん置いておく

以下の具体例

参考

P=\{2,2,3,3\}の部分集合の圏を見て、直積と極限を具体的に見る

対象は、集合Pの部分集合

列挙すると、\emptyset, \{2\}, \{3\}, \{2,2\}, \{2,3\}, \{3,3\}, \{2,2,3\}, \{2,3,3\}, Pの9個

射は、A\sub Bが成り立つとき、唯一の射A\to Bがある

換言するとAがBの約数のとき、A\to Bとする

対象と射を書いた

図1

こういう直積が存在する

いつもの図で見るなら

スパンの圏Spanで見る

対象を2つ固定する

A=(2,2,3)、B=(2,3,3)

圏\mathrm{Span}(A,B)はこんな感じ

スパンの圏の終対象がA,Bの直積になるので、

今回の場合は、(2,3)がA\times Bになる

錐とは

錐#5f4e3efa1982700000087ce9の手順で考える

添字圏として以下のような圏Jを考える

対象は1,2の2つであり、間に射はなく、恒等射のみ

関手F:J\to\mathscr{A}を以下のように定義する

F(1)=(2,2,3)

F(2)=(2,3,3)

こうしてできた圏\mathscr{A}内の同じ色の対象と射の組の一つ一つが錐である

例えば、組(\emptyset,p_1,p_2)

これを(\emptyset,\{p\})と表記する

この図の下側は圏\mathscr{A}内の話なので、対象や射はかなり省略されて書かれてある

全部書くとこのノートの一番上の図1になるので

今回の話に必要な分だけ射を少し書き足す

錐の圏Coneで見る

上の話から、錐の圏\mathrm{Cons}(\mathscr{A},F)は以下のように作れる

対象は錐で、射は\mathscr{A}内のもの

終対象が((2,3),\{s\})になっていることがわかる

錐の圏の終対象が極限なので、この場合((2,3),\{s\})

(2,3)のみを指して極限とも言う

故に(2,3)=\lim_\leftarrow F

全体で見るなら