以下2つは自然同型

故に、忘却関手\mathrm{Grp}\to\mathrm{Set}は表現可能

名付けと雑な図

忘却関手U:\mathrm{Grp}\to\mathrm{Set}

Hom関手\mathrm{Grp}(\mathbb{Z},-):\mathrm{Grp}\to\mathrm{Set}

準備

\mathrm{Grp}(\mathbb{Z},-)の\mathbb{Z}は、加法群(\mathbb{Z},+)のことだが、

これはaを生成元とする無限巡回群\mathbb{Z}=\lang a\rangとも見れる

\mathbb{Z}からGへの準同型写像を考えるときに無限巡回群<a>から群Gへの準同型に注意しておく

証明

自然変換\alpha:\mathrm{Grp}(\mathbb{Z},G)\to\mathrm{Set}を

準同型写像\varphi:\mathbb{Z}\to Gを用いて

\alpha_G:\varphi\mapsto \varphi(a)で定義する

目的

\alpha_Gが同型(自然同型)であることを言えばいい

そのためには以下の2つを示せばいい

この図の右側の図が可換である

逆射\alpha_G^{-1}が存在する

上の図が可換であることを確認する

緑向きの元の対応は、(Uf)(\varphi(a))=f(\varphi(a))

∵忘却関手の定義

紫向きの元の対応は、(f\circ\varphi)(a)

∵\alpha_{G'}の定義

よって、両方とも\varphi,fの合成をaに適用したものなので同じ

よって、\varphiから出発した2経路は同じ点に終着するためこれは可換

また逆射\alpha^{-1}_G:U(G)\to\mathrm{Grp}(\mathbb{Z},G),\;x\mapsto(a^n\mapsto x^n)が存在する

これは無限巡回群<a>から群Gへの準同型の性質を利用している

故に、自然変換の各成分が同型射のとき、その自然変換は同型なので、\alphaは自然同型

従って、Uは表現可能

参考

ベシ圏 p.103

『圏論入門』 p.236~