定理

無限巡回群\lang a\rangから群Gへの準同型は、

各x\in Gに対して、

f_x:\lang a\rang \to G,\; a^k\mapsto x^k\; (k\in\mathbb{Z})

によって定まるものが全てである

逆に言えば、\lang a\rang\to Gな準同型を一つ構成すれば

絶対にどれかのxに対して、上のような定義の写像になっている

考えた時点で存在する準同型が全部把握済みになっている

証明

aは無限位数なので、\forall k,l\in\mathbb{Z}に対して

a^k=a^l\Rightarrow k=l\Rightarrow x^k=x^l

となるので、f_xはwell-definedである

また、\forall k,l\in\mathbb{Z}に対して、

f_x(a^k)f_x(a^l)=x^kx^l=x^{k+l}=f_x(a^{k+l})=f_x(a^ka^l)

となるので、f_xは準同型写像

また、fを任意の準同型写像とする時、

y=f(a)とおけば、\forall k\in\mathbb{Z}に対して

f(a^k)=f(a)^k=y^k=f_y(a^k)

となるので、f=f_y