集合の圏Setとベクトル空間の圏Vect間の、自由関手と忘却関手の随伴を具体的に見る

参考

ベシ圏 p.51-

をやろうと思ったが、以下に書いている「わからない」などの理由により断念

一応メモだけ残しておく

間違っているかもしれないので参考程度に

以下の2条件を満たすことを確認する必要がある

自然性の公理を満たす

\phi_{S,V}:\mathrm{Vect}_k(FS,V)\to\mathrm{Set}(S,UV) が全単射になる

または、\phi_{V,S}:\mathrm{Set}(S,UV)\to\mathrm{Vect}_k(FS,V) が全単射になる

自然性の公理を満たす

ベシ圏p.52では無視している

\phi_{S,V}:\mathrm{Vect}_k(FS,V)\to\mathrm{Set}(S,UV) が全単射になる

または、\phi_{V,S}:\mathrm{Set}(S,UV)\to\mathrm{Vect}_k(FS,V) が全単射になる

片方の向きのみの確認で十分だが(?)、両方確認する

\phi_{S,V}:\mathrm{Vect}_k(FS,V)\to\mathrm{Set}(S,UV) が全単射になるについて

p.52上から8行目\bar{g}(s)=g(s)の右辺側

gは線型写像でしょ、例えば行列に成る

一方でsは集合Sの元なのでスカラーもありうる

型が異なるのになぜg(s)のような適用ができるのか

\phi_{V,S}:\mathrm{Set}(S,UV)\to\mathrm{Vect}_k(FS,V) が全単射になるについて

下から7行目の大きい等式の3項目と4項目のイコール

\sum_{s\in S}\lambda_s g(s)=g(\sum_{s\in S}\lambda_s s)の箇所

なぜこれが成り立つ？

もし\bar{g}(s)=g(s)を使っているのであれば、

「1項目=\bar{g}(\sum_{s\in S}\lambda_s s)=4項目」と書けばで十分なので、

逆にp.52に書いている1項目~3項目の変形の意義がわからなくなる