自然性の公理
正式名称ではないと思う
ベシ圏に出てくる用語
英語ではなんと書いてるんだろう
図的自然性の公理
青い部分同士が転置の関係にあって、
緑の部分同士が転置の関係にある
この2条件が満たすことを自然性の公理と言っている
ベシ圏風に式で書く
わかりにくいけど
\overline{(FB'\xrightarrow{Fb}FB\xrightarrow{f}A)}=(B'\xrightarrow{b}B\xrightarrow{\bar{f}}GA)
上図の青の対応
\overline{(FB\xrightarrow{f}A\xrightarrow{a}A')}=(B\xrightarrow{\overline{f}}GA\xrightarrow{Ga}GA')
上図の緑の対応
状況設定
2つの圏\mathscr{A},\mathscr{B}とその間の関手F,Gがある
FBとAの間には複数の射があり、
BとGAの間にも複数の射がある
これらの射どうしを結び付ける全単射\phi_{B,A}が存在する
名前の通りこれはB,Aに何を選ぶかに依存する写像
このとき、\phi_{B,A}(f)=\bar{f}となる関係を以下の様に記す
要するに\phi_{B,A}による射同士の一対一対応のことを転置と呼んでいる
こうやって書くと恣意的に見えるが、もっと冗長に書くと以下のような流れ
\mathscr{A}(FB,A)から一つ選んだものをfとし、
それを\phi_{B,A}に適用すると、\mathscr{B}(B,GA)から一つ選ばれた
これをhと呼ぶ
このhがfの転置となるので、わかりやすく表記するために\bar{f}:=hとしている
片側の自然性
全単射\phi_{B,A}の集まりが、Bに関して自然とは
任意の\mathscr{B}の射b:B'\to Bに対して、
\phi_{B',A}の対応が以下のようになっていることをいう
つまり、\phi_{B',A}(f\circ Fb)=\bar{f}\circ bが成り立つ
図で描くとこう
最初の図から左側に伸びている
全単射\phi_{B,A}の集まりが、Aに関して自然とは
上の話の逆版
右側が伸びる
つまり\phi_{B,A'}(a\circ f)=Ga\circ\bar{f}が成り立つ
図は同様なので省略
自然性の公理の構築
上の話を同時に書く
\phiの対応を式として書きづらいが、上の話と同様の対応が成されている
図中の赤線
a\circ f\circ FbとGa\circ\bar{f}\circ bが一対一対応してる
自然性の公理の構築を更に2種類の広がりで見てみる
無限に横に伸ばす
どこまで横に伸ばしてもこの関係性は成立する
換言すると以下の3つの射の配列から
B^n\to\cdots\to B''\to B'\to B
B\to GA
A\to A'\to A''\to\cdots\to A^m
B^n\to GA^mという一つの射を構成する
縦に散らして任意性を直感する
A_1やB_1はその圏の中の任意の対象なので、その点をわかりやすく書くと下図のようになる
こう書いても水平線の上下は、各経路で対応している
わかりやすく青線を引いたがそれ以外のものも同様
参考
『圏論入門』 pp.148-149
ベシ圏 p.50
表記がわかりにくい
圏論入門の表記のほうがわかりやすい