極限の延長としてのイコライザを考える

参考

『圏論入門』 p.80-

下図のような圏Jを添字圏とした図式 (圏論)の極限がイコライザ

圏\mathscr{A}への図式を考え、さらに錐を考える

錐や極限を完全に理解できている前提

忘れてたら ref {2,2,3,3}の部分集合の圏で直積と極限を見る

関手Fの対応を色で示した

錐を考える

下図の(X, \{h,\ast\})が錐であってほしい

錐の射の条件として、上の2つの三角形が可換になることが求められる

式で書くなら以下の2式が両方成立してほしい

\ast=f\circ h

\ast=g\circ h

この2式から\astを消去するとf\circ h=g\circ h

この式を考えることで、\astの射が消えた図を考えても同等だということがわかる

逆に、この式から元の式も復元可能

話を戻して、錐はX以外にも条件を満たせば複数ありうる

例えば、同列にX,Y,Z,Lなどが存在する

LとX,Y,Zの異なる点は、Lへの射があること

つまり、Lは錐の圏を考えた際に終対象になる(後述)

この図から、本質的に同じことを言っているY,Zを消去すると、よく見るイコライザの図になる

この図をちょっと整えることでよく見るイコライザの図になる

このLが錐の圏を考えたときの終対象になり、極限になる

L=\lim_\leftarrow F