空集合はある集合の部分集合になるか？
from 論理と集合から始める数学の基礎 読書会
発展：\varnothingはAの部分集合？
おっと～？
\varnothing \sub AはTrue?ってことだな
空集合は要素がないってことだし、
in ではないA = \{2,4,6,8,10,\cdots\}
まずかんがえてみよ
あ！これがあれか！定義にかえれだ！！
+1
いかにして問題をとくかの言っていたことが唐突にわかった。エウレーカ！
1. 部分集合の定義は[" \subsetは集合Bの要素すべてが集合Aの要素でもあること]。
2. 空集合の定義は集合の中に何の要素もないこと
したがって問題は「何の要素もない」ことを集合のルールではどう扱うか、ということだな
-1
ツリーをぶら下げると深過ぎになるからページ末に書く
🙏
これは今持っている知識でなんとかなるかな？
(やっべここまでの知識じゃとけない問題だったかも。次節に進むよう促したほうがいいかなという考えと、いやこの流れならワンチャンいけそうさんを信じるんだ！という考えとの狭間でなやんでいる顔)
つみです。
要素を全く持たない集合ってどんなのがあるかな
A=\{x|x<0 \}(ただし、xは自然数とする)
これは要素がないといえる
これとは関係ないけど、グラフ計算のときにスプレッドシートを使えるようになるともっといいんだろうな
Excel-JPの出番だ！
仮にA(空集合)と、要素1しかないBがあった場合にどうなるか？
A=\{x|x<0 \}(ただし、xは自然数とする)
B=\{x|x=1\}
つまりB=\{1\}
でもここから先はルールの話になるからわからん。
AとBとを同じと見なすか？
ここ別のAを示している？
A=\{x|x<0 \}は空集合だから、A\neq B
matigaidesu..........
MAGICAL DEATH思い出した
AはBの部分集合になるか？
現実世界的感覚だと、データベースのことを考える(現実世界的感覚で考える禁忌)
Aで検索して一例も出ませんでした！！！！というのと、
Bで検索して1例でました！！！！というのは併存しうる
フォルダに一個ファイルがあるケースでも同じ
こっからはルールゲーだし、飛ばして先に進んでもいいと思う
続きは第2章をやればたぶんやれる
第4章までやれば確実にやれそう
覚えてろよ～(捨てゼリフ)
サムネが サムネがオシャカになったっ
タイトルとサムネが全く一致してなくて草
ちゃんとしたサムネイルを用意したのでごあんしんください
---仕切り直し
1. 部分集合の定義は[" \subsetは集合Bの要素すべてが集合Aの要素でもあること]。
2. 空集合の定義は集合の中に何の要素もないこと
集合Xの要素xすべてがP(x)である
\forall x \in X : P(x)
(old: \forall x \in X(P(x)))
がXが空集合の時に成り立つかどうか
集合Xの要素xは1,2
この要素すべてがP(x)である
これは集合P(x)の話をしている
P(x)=\{1,2\}ということだな
待って！違う！
これではないのですね。修正します！
「集合Xの要素xすべてがP(x)である\forall x \in X (P(x))」これでひとつ
これのX (P(x))で混乱しているのか？
f(f(x))みたいな話？
\forall x\in XとP(x)で分けてください
P(x)の外側括弧は、単にくくって区別しているだけ
他の流儀で書くとこんな感じ
\forall x\in X;P(x)
\forall x\in X:P(x)
\forall x\in X.P(x)
そうしよう
ギャッ過去の自分のメモだッ
これは\existでしたが、それを\forallに置き換えていただければと思います
ただし\forall d\leqq x[\cdots]\overset{\rm def}{\iff} \forall d[d\leqq x\textcolor{red}{\implies}\cdots]である点に注意
では集合Xが\{\}だったら？
集合Xの要素xは……ない
P(x)について
Pは述語論理 - Wikipediaのpredicate logicのP
命題関数とも言われる
Wikipediaにいい説明ないかなと思ったけど見つからなかった
簡単に言えばTrueかFalseかを返す関数
イプシロンデルタ論法の時の複雑な式で見るような
本題に関係ないところを削ったつもりが余計混乱を招いたようだ
あとから私が見れば良い話
---仕切り直しアゲイン
集合Xの要素xすべてがYの要素である
\forall x \in X : x \in Y
がXが空集合の時に成り立つかどうか
これは全称記号 - Wikipediaの意味の話
ここから少し雑な説明
「集合Xの要素xすべてがYの要素である」は「xが集合Xの要素ならxはYの要素である」と等価(1)
\forall x : x \in X \Rightarrow x \in Y
対偶をとることで、下記も等価とわかる(2)
\forall x : x \notin Y \Rightarrow x \notin X
空集合の定義からx \notin Xは常に真(3)
よってこの全称命題全体が真
(1)の書き換えがなぜOKなのか問われるとむむ？となる
身も蓋もない説明だと「\forall x \in X : x \in Y\stackrel{\rm def}{\iff}\forall x : x \in X \Rightarrow x \in Y」
納得の行く説明をするなら、「\implies以外に\forall x\in Xを説明できる方法がない」？
びみょい……
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