/takker/tensorの記号の対応表

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tensorの記号の対応表
 | ,  , で表す微分記法とtensorの成分表示との対応表を作りたい
座標変換行列a,bなどとの関係もまとめる

『テンソル解析と連続体力学　理工学海外名著シリーズ30』
基底と自然基底
\pmb{g}_i=\pmb{e}_i=\frac{\partial\pmb{r}}{\partial\bar{e}_i}
\pmb{g}^i=\bar{\pmb{e}}_i=\frac{\partial\pmb{r}}{\partial e_i}
別の基底
\pmb{g}_{i'}=\pmb{f}_i
\pmb{g}^{i'}=\bar{\pmb{f}}_i
新しい座標の基底を\sf Fとした
添え字の上げ下げ
u_i=[\pmb{u}]^\mathsf{E}_i=\pmb u\cdot\bar{\pmb e}_i
u^i=[\pmb{u}]^\mathsf{\bar{E}}_i=\pmb u\cdot\pmb e_i
c_{ij}=[\pmb{c}]^\mathsf{EE}_{ij}
c^{ij}=[\pmb{c}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ij}
{c^i}_j=[\pmb{c}]^\mathsf{\bar{E}E}_{ij}
{c_i}^j=[\pmb{c}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ij}
計量行列
g^{ij} = [\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ij}=\bar{\pmb e}_i\cdot\bar{\pmb e}_j
g_{ij}= [\pmb{I}]^\mathsf{EE}_{ij}=\pmb e_i\cdot\pmb e_j
座標変換行列 (恒等tensorの成分表示)
{\beta_{i'}}^j= [\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}_{ij}=\frac{\partial \bar{e}_j}{\partial\bar{f}_i}
{\beta^{i'}}_j= [\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ij}=[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{F}}_{ji}=\frac{\partial\bar{f}_i}{\partial\bar{e}_j}
微分
\phi_{,i}=\frac{\partial\phi}{\partial \bar{e}_i}=\pmb e_i\cdot\pmb\nabla\phi=\phi\overleftarrow{\pmb\nabla}\cdot\pmb e_i=[\phi\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E}_i
\pmb{r}_{,i}=\pmb{e}_i
u_{i,j}=\frac{\partial u_i}{\partial\bar e_j}=\frac{\partial[\pmb u]^{\sf E}_i}{\partial\bar e_j}=[\pmb u]^{\sf E}_i\overleftarrow{\pmb\nabla}\cdot\pmb e_j=(\pmb u\cdot\pmb e_i)\overleftarrow{\pmb\nabla}\cdot\pmb e_j=\left[[\pmb u]^{\sf E}_i\overleftarrow{\pmb\nabla}\right]^{\sf E}_j
前に,を付けた添え字で微分する
Christoffel記号
\pmb g_{i,j}=\pmb\Gamma^{\sf EE }_{ji}=\pmb\Gamma^{\sf EE }_{ij}
{\Gamma_{ij}}^k=\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}\cdot\bar{\pmb e}_k
\Gamma_{ijk}=\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}\cdot\pmb e_k
共変微分
v^i|_j=[\pmb\nabla\pmb v]^{\sf E\bar E}_{ji}=[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar EE}_{ij}
v_i|_j=[\pmb\nabla\pmb v]^{\sf EE}_{ji}=[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EE}_{ij}
v_i|^j=[\pmb\nabla\pmb v]^{\sf\bar EE}_{ji}=[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E\bar E}_{ij}
v^i|^j=[\pmb\nabla\pmb v]^{\sf\bar E\bar E}_{ji}=[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}
計算
v^i|_j=\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_j}\cdot\bar{\pmb e}_i=\pmb e_j\cdot\pmb\nabla\pmb v\cdot\bar{\pmb e}_i=[\pmb\nabla\pmb v]^{\sf E\bar E}_{ji}=[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar EE}_{ij}
v^i|_j=\frac{\partial [\pmb v]^{\sf \bar E}_i}{\partial \bar e_j}+[\pmb v]^{\sf\bar E}_k\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}\cdot\bar{\pmb e}_i
[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar EE}_{ij}=[[\pmb v]^{\sf\bar E}_i\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E}_j+[\pmb v]^{\sf\bar E}_k\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}\cdot\bar{\pmb e}_i
\pmb vのj方向微分のi成分が、\pmb vのi成分のj方向微分と\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}\cdot\bar{\pmb e}_i[\pmb v]^{\sf\bar E}_kだけ違う
第2項をGibbs形式で書く
v^i|_j=\frac{\partial [\pmb v]^{\sf \bar E}_i}{\partial \bar e_j}+[\pmb v]^{\sf\bar E}_k\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}\cdot\bar{\pmb e}_i
=\frac{\partial [\pmb v]^{\sf \bar E}_i}{\partial \bar e_j}-[\pmb v]^{\sf\bar E}_k\pmb e_l\left(\pmb e_k\cdot\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jl}\right)\cdot\bar{\pmb e}_i
=\frac{\partial [\pmb v]^{\sf \bar E}_i}{\partial \bar e_j}-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jl}\pmb e_l\cdot\bar{\pmb e}_i
=\frac{\partial [\pmb v]^{\sf \bar E}_i}{\partial \bar e_j}-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jl}\llbracket l=i\rrbracket
=\frac{\partial [\pmb v]^{\sf \bar E}_i}{\partial \bar e_j}-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{ji}
=\frac{\partial [\pmb v]^{\sf \bar E}_i}{\partial \bar e_j}-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{ij}
v_i|_j=\frac{\partial [\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial \bar e_j}+[\pmb v]^{\sf E}_k\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jk}\cdot\pmb e_i
=\frac{\partial [\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial \bar e_j}-[\pmb v]^{\sf E}_k\bar{\pmb e}_l\left(\bar{\pmb e_k}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jl}\right)\cdot\pmb e_i
=\frac{\partial [\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial \bar e_j}-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jl}\bar{\pmb e}_l\cdot\pmb e_i
=\frac{\partial [\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial \bar e_j}-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ji}
=\frac{\partial [\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial \bar e_j}-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}
ここまで計算して、積の微分を使えば簡単に示せることに気づく
\frac{\partial [\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial \bar e_j}=(\pmb v\cdot\pmb e_i)\overleftarrow{\pmb\nabla}\cdot\pmb e_j
= \pmb e_i\cdot\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\cdot\pmb e_j+\pmb v\cdot\pmb e_i\overleftarrow{\pmb\nabla}\cdot\pmb e_j
=[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EE}_{ij}+\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ji}
\iff[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EE}_{ij}=\frac{\partial [\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial \bar e_j}-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ji}
以上より
[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EE}_{ij}=[[\pmb v]^{\sf E}_i\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E}_j-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}
[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar EE}_{ij}=[[\pmb v]^{\sf\bar E}_i\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E}_j-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{ij}
[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E\bar E}_{ij}=[[\pmb v]^{\sf E}_i\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar E}_j-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{ij}
[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}=[[\pmb v]^{\sf\bar E}_i\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar E}_j-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf\bar E\bar E}_{ij}
かなりきれいな形になってくれた
\phi|_i=\phi_{,i}=[\phi\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E}_i
A_{ij}|_k=[\pmb A\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EEE}_{ijk}
{A^i}_j|_k=[\pmb A\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar EEE}_{ijk}
{A_i}^j|_k=[\pmb A\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E\bar EE}_{ijk}
A^{ij}|_k=[\pmb A\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar E\bar EE}_{ijk}
2階共変微分
v_i|_{jk}=v_i|_j|_k=\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}_{ij}|_k=[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EEE}_{ijk}
[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EEE}_{ijk}=\frac{\partial}{\partial\bar e_k}\left(\frac{\partial[\pmb v]^{\sf E}_l}{\partial\bar e_m}\bar{\pmb e}_l\bar{\pmb e}_m+[\pmb v]^{\sf E}_l\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{lm}\bar{\pmb e}_m\right):\pmb e_i\pmb e_j
このあたりからシンボリック表記で書き直す
=\frac{\partial}{\partial\bar e_k}\left(\frac{\partial[\pmb v]^{\sf E}_l}{\partial\bar e_m}\bar{\pmb e}_l\bar{\pmb e}_m-[\pmb v]^{\sf E}_l\bar{\pmb e}_l\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{nm}\bar{\pmb e}_n\bar{\pmb e}_m\right):\pmb e_i\pmb e_j
\because\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{lm}=-\bar{\pmb e}_n\bar{\pmb e}_l\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{nm}
=\frac{\partial[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}+\left(\frac{\partial[\pmb v]^{\sf E}_l}{\partial\bar e_j}-[\pmb v]^{\sf E}_m\bar{\pmb e}_m\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{lj}\right)\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{lk}\cdot\pmb e_i+\left(\frac{\partial[\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial\bar e_m}-[\pmb v]^{\sf E}_l\bar{\pmb e}_l\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{im}\right)\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{mk}\cdot\pmb e_j
=\frac{\partial[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}-\left(\frac{\partial[\pmb v]^{\sf E}_l}{\partial\bar e_j}-[\pmb v]^{\sf E}_m\bar{\pmb e}_m\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{lj}\right)(\bar{\pmb e}_n\bar{\pmb e}_l\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{nk})\cdot\pmb e_i-\left(\frac{\partial[\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial\bar e_m}-[\pmb v]^{\sf E}_l\bar{\pmb e}_l\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{im}\right)(\bar{\pmb e}_n\bar{\pmb e}_m\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{nk})\cdot\pmb e_j
=\frac{\partial[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}-\left(\frac{\partial[\pmb v]^{\sf E}_l}{\partial\bar e_j}-[\pmb v]^{\sf E}_m\bar{\pmb e}_m\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{lj}\right)\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}\cdot\bar{\pmb e}_l-\left(\frac{\partial[\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial\bar e_m}-[\pmb v]^{\sf E}_l\bar{\pmb e}_l\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{im}\right)\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}\cdot\bar{\pmb e}_m
=\frac{\partial[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}-\left(\frac{\partial\pmb v\cdot\pmb e_l}{\partial\bar e_j}-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{lj}\right)\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}\cdot\bar{\pmb e}_l-\left(\frac{\partial\pmb v\cdot\pmb e_i}{\partial\bar e_m}-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{im}\right)\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}\cdot\bar{\pmb e}_m
=\frac{\partial[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}-\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_j}\cdot\pmb e_l\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}\cdot\bar{\pmb e}_l-\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_m}\cdot\pmb e_i\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}\cdot\bar{\pmb e}_m
=\frac{\partial[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}-\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_j}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}-\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_m}\cdot\pmb e_i\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}\cdot\bar{\pmb e}_m
=\frac{\partial[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}-\pmb e_j\cdot\pmb\nabla\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}-\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}\cdot\pmb\nabla\pmb v\cdot\pmb e_i
=\frac{\partial\pmb e_j\cdot\pmb\nabla\pmb v}{\partial\bar e_k}\cdot\pmb e_i+\pmb e_j\cdot\pmb\nabla\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}-\pmb e_j\cdot\pmb\nabla\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}-\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}\cdot\pmb\nabla\pmb v\cdot\pmb e_i
=\frac{\partial\pmb e_j\cdot\pmb\nabla\pmb v}{\partial\bar e_k}\cdot\pmb e_i-\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}\cdot\pmb\nabla\pmb v\cdot\pmb e_i
[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EEE}_{ijk}-[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EEE}_{ikj}=
-\left(\frac{\partial[\pmb v]^{\sf E}_l}{\partial\bar e_j}-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{lj}\right)\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}\cdot\bar{\pmb e}_l+\left(\frac{\partial[\pmb v]^{\sf E}_l}{\partial\bar e_k}-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{lk}\right)\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}\cdot\bar{\pmb e}_l
=\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_k}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}-\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_j}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}+0
tensorの記号の対応表#64fcf71a1280f0000076806cと同様、2階tensorの共変微分も積の微分を使えば簡単に導出できそう
[[\pmb A]^{\sf EF}_{ij}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf G}_k=\frac{\partial}{\partial\bar g_k}(\pmb e_i\cdot\pmb A\cdot\pmb f_j)
= \pmb\Gamma^{\sf GE}_{ki}\cdot\pmb A\cdot\pmb f_j+\pmb e_i\cdot\pmb A\cdot\pmb\Gamma^{\sf GF}_{kj}+[\pmb A\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EFG}_{ijk}
= [\pmb A\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EFG}_{ijk}+[\pmb\Gamma^{\sf GE}_{ki}\cdot\pmb A]^{\sf F}_j+[\pmb A\cdot\pmb\Gamma^{\sf GF}_{kj}]^{\sf E}_i
\therefore[\pmb A\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EFG}_{ijk}= [[\pmb A]^{\sf EF}_{ij}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf G}_k-[\pmb\Gamma^{\sf GE}_{ki}\cdot\pmb A]^{\sf F}_j-[\pmb A\cdot\pmb\Gamma^{\sf GF}_{kj}]^{\sf E}_i
簡単に導出できたが、あんまりきれいな形にはならないな
Christoffel vectorを拡張し、Christoffel tensor\pmb\Gamma^{\sf EFGH\cdots}_{ijkl\cdots}:=\frac{\partial^n\pmb f_j\pmb g_k\pmb h_l\cdots}{\partial\bar e_i}を導入するときれいになる
\therefore[\pmb A\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EFG}_{ijk}= [[\pmb A]^{\sf EF}_{ij}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf G}_k-\pmb A:\pmb\Gamma^{\sf GEF}_{kij}

曲率tensor
[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EFG}_{ijk}=[[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EF}_{ij}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf G}_k-\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}:\pmb\Gamma^{\sf GEF}_{kij}
=[([[\pmb v]^{\sf E}_i\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf F}_j-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij})\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf G}_k-\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}:\pmb\Gamma^{\sf GEF}_{kij}
=[[[\pmb v]^{\sf E}_i\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf F}_j\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf G}_k-[(\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij})\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf G}_k-\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}:\pmb\Gamma^{\sf GEF}_{kij}
=\frac{\partial^2[\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial\bar g_k\partial\bar f_j}-[(\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij})\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf G}_k-\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}:\pmb\Gamma^{\sf GEF}_{kij}
=\frac{\partial^2[\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial\bar g_k\partial\bar f_j}-[\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij}\cdot(\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla})]^{\sf G}_k-[\pmb v\cdot(\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij}\overleftarrow{\pmb\nabla})]^{\sf G}_k-\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}:\pmb\Gamma^{\sf GEF}_{kij}
=\frac{\partial^2[\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial\bar g_k\partial\bar f_j}-\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar g_k}-\pmb v\cdot\frac{\partial^2\pmb e_i}{\partial\bar g_k\partial\bar f_j}-\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}:\pmb\Gamma^{\sf GEF}_{kij}
\therefore[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EFF}_{ijk}-[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EFF}_{ikj}=-\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar f_k}+\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ik}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar f_j}-\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}:\pmb\Gamma^{\sf FEF}_{kij}+\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}:\pmb\Gamma^{\sf FEF}_{jik}
他の2項は打ち消し合う
=-\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar f_k}+\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ik}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar f_j}+\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}:(\pmb e_i\pmb\Gamma^{\sf FF}_{jk}+\pmb\Gamma^{\sf FE}_{ji}\pmb f_k-\pmb e_i\pmb\Gamma^{\sf FF}_{kj}-\pmb\Gamma^{\sf FE}_{ki}\pmb f_j)
=-\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar f_k}+\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ik}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar f_j}+\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}:(\pmb\Gamma^{\sf FE}_{ji}\pmb f_k-\pmb\Gamma^{\sf FE}_{ki}\pmb f_j)
=-\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar f_k}+\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ik}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar f_j}+\pmb\Gamma^{\sf FE}_{ji}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar f_k}-\pmb\Gamma^{\sf FE}_{ki}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar f_j}
=0
あー、これどっかで計算間違えたな
恒等的に0になるはずがない

 [\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar EEE}_{rjk}とテンソル談議(6.6.3)を比べる
[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar EEE}_{rjk}=\frac{\partial^2[\pmb v]^{\sf\bar E}_r}{\partial\bar e_k\partial\bar e_j}-\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{rj}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_k}-\pmb v\cdot\frac{\partial^2\bar{\pmb e}_r}{\partial\bar e_k\partial\bar e_j}-\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}:\pmb\Gamma^{\sf E\bar EE }_{krj} 
=\frac{\partial^2[\pmb v]^{\sf\bar E}_r}{\partial\bar e_k\partial\bar e_j}-\pmb v\cdot\frac{\partial^2\bar{\pmb e}_r}{\partial\bar e_k\partial\bar e_j}-\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{rj}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_k}-\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}:\pmb\Gamma^{\sf E\bar EE }_{krj} 
=\frac{\partial^2[\pmb v]^{\sf\bar E}_r}{\partial\bar e_k\partial\bar e_j}-\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jr}}{\partial\bar e_k}\cdot\pmb v-\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{rj}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_k}-\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}:(\bar{\pmb e}_r\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj}+\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}\pmb e_j) 
=\frac{\partial^2[\pmb v]^{\sf\bar E}_r}{\partial\bar e_k\partial\bar e_j}-\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jr}}{\partial\bar e_k}\cdot\pmb v-\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{rj}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_k}-\bar{\pmb e}_r\cdot\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj}-\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_j} 
=\frac{\partial^2[\pmb v]^{\sf\bar E}_r}{\partial\bar e_k\partial\bar e_j}-\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jr}}{\partial\bar e_k}\cdot\pmb v-\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{rj}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_k}-\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_j}-\bar{\pmb e}_r\cdot\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj} 
=\frac{\partial^2[\pmb v]^{\sf\bar E}_r}{\partial\bar e_k\partial\bar e_j}-\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jr}\cdot\pmb v}{\partial\bar e_k}-\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_j}-\bar{\pmb e}_r\cdot\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj}
うまく(6.6.3)に持っていけない。
\nabla_k\nabla_j v^r=\frac{\partial^2 v^r}{\partial u^k\partial u^j}+\frac{\partial\Gamma^r_{ji}}{\partial u^k}v^i+\Gamma^r_{ji}\frac{\partial v^i}{\partial u^k}+\Gamma^r_{ki}\frac{\partial v^i}{\partial u^j}+\Gamma^r_{kl}\Gamma^l_{ji}v^i-\Gamma^i_{kj}\nabla_iv^r(6.6.3)から逆算する
\frac{\partial^2 v^r}{\partial u^k\partial u^j}=\frac{\partial^2[\pmb v]^{\sf\bar E}_r}{\partial\bar e_k\partial\bar e_j}
\frac{\partial\Gamma^r_{ji}}{\partial u^k}v^i+\Gamma^r_{ji}\frac{\partial v^i}{\partial u^k}=\frac{\partial\Gamma^r_{ji}v^i}{\partial u^k}
=\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ji}\cdot\bar{\pmb e}_r\pmb v\cdot\bar{\pmb e}_i}{\partial\bar e_k}
=-\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jr}\cdot\pmb e_i\pmb v\cdot\bar{\pmb e}_i}{\partial\bar e_k}
= -\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jr}\cdot\pmb v}{\partial\bar e_k}
\Gamma^r_{ki}\frac{\partial v^i}{\partial u^j}+\Gamma^r_{kl}\Gamma^l_{ji}v^i=\bar{\pmb e}_r\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ki}\frac{\partial\pmb v\cdot\bar{\pmb e}_i}{\partial\bar e_j}+\bar{\pmb e}_r\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kl}\bar{\pmb e}_l\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ji}\pmb v\cdot\bar{\pmb e}_i
= -\pmb e_i\cdot\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}\frac{\partial\pmb v\cdot\bar{\pmb e}_i}{\partial\bar e_j}-\pmb e_l\cdot\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}\bar{\pmb e}_l\cdot\frac{\partial\pmb e_i}{\partial\bar e_j}\pmb v\cdot\bar{\pmb e}_i
= -\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}\cdot\pmb e_i\frac{\partial\pmb v\cdot\bar{\pmb e}_i}{\partial\bar e_j}-\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}\cdot\frac{\partial\pmb e_i}{\partial\bar e_j}\pmb v\cdot\bar{\pmb e}_i
= -\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_j}
\sout{-\Gamma^i_{kj}\nabla_iv^r=[\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj}]^{\sf\bar E}_i[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E\bar E}_{ir}}
\sout{=\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj}\cdot\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\cdot\bar{\pmb e}_r}
これが合わない。nablaが転置してしまっている
\nabla_iv^rの展開ミス
\nabla_iv^j=\frac{\partial v^j}{\partial u^i}+\Gamma^j_{\bullet ik}v^k=[[\pmb v]^{\sf\bar E}_j\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E}_i-v^k\Gamma^{\bullet\bullet j}_{ki\bullet}=[[\pmb v]^{\sf\bar E}_j\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E}_i-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{ij}=[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar EE}_{ji}
添字が逆だった
-\Gamma^i_{kj}\nabla_iv^r=[\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj}]^{\sf\bar E}_i[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar EE}_{ri}
=\bar{\pmb e}_r\cdot\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj}
✅2階tensorの共変微分の式があっているか確認する
\nabla_kT^i_j=\partial_kT^i_j+\Gamma^i_{kl}T^l_j-\Gamma^l_{kj}T^i_l(6.4.51)
= [[\pmb T]^{\sf E\bar E}_{ij}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E}_k-\Gamma^{\bullet\bullet i}_{lk\bullet}T^l_j-\bar{\pmb e}_i\cdot\pmb T\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj}
= [[\pmb T]^{\sf E\bar E}_{ij}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E}_k-\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{ki}\cdot\pmb T\cdot\pmb e_j-\bar{\pmb e}_i\cdot\pmb T\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj}
= [[\pmb T]^{\sf E\bar E}_{ij}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E}_k-\pmb T:(\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{ki}\pmb e_j+\bar{\pmb e}_i\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj})
= [[\pmb T]^{\sf E\bar E}_{ij}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E}_k-\pmb T:\pmb\Gamma^{\sf E\bar EE}_{kij}
=[\pmb T\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E\bar EE}_{ijk}
あってる
\nabla_k\nabla_j v^r=[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar EEE}_{rjk}=\frac{\partial^2[\pmb v]^{\sf\bar E}_r}{\partial\bar e_k\partial\bar e_j}-\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jr}\cdot\pmb v}{\partial\bar e_k}-\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_j}-\bar{\pmb e}_r\cdot\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj}を確認できた

もう一度曲率tensorを計算する。(6.6.5)と比較しつつ計算を進める。
\nabla_k\nabla_j v^r-\nabla_j\nabla_k v^r=0-\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jr}\cdot\pmb v}{\partial\bar e_k}+\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}\cdot\pmb v}{\partial\bar e_j}-\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_j}+\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jr}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_k}+0
=-\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jr}}{\partial\bar e_k}\cdot\pmb v+\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}}{\partial\bar e_j}\cdot\pmb v
=\left(\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}}{\partial\bar e_j}-\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jr}}{\partial\bar e_k}\right)\cdot\pmb v
だめだ。これも偏微分の交換法則から0になってしまう

曲率tensorの式(6.6.6)から逆算するしかなさそう
{R_{kji}}^r=\frac{\partial{\Gamma^r}_{ji}}{\partial u^k}-\frac{\partial{\Gamma^r}_{ki}}{\partial u^j}+\Gamma^r_{\bullet kl}\Gamma^l_{\bullet ji}-\Gamma^r_{\bullet jl}\Gamma^l_{\bullet ki}
=\frac{\partial\bar{\pmb e}_r\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ji}}{\partial\bar e_k}-\frac{\partial\bar{\pmb e}_r\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ki}}{\partial\bar e_j}-\Gamma^{\bullet\bullet r}_{lk\bullet}\Gamma^l_{\bullet ji}+\Gamma^{\bullet\bullet r}_{lj\bullet}\Gamma^l_{\bullet ki}
=\frac{\partial\bar{\pmb e}_r\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ji}}{\partial\bar e_k}-\frac{\partial\bar{\pmb e}_r\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ki}}{\partial\bar e_j}-\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ji}+\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jr}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ki}
=\bar{\pmb e}_r\cdot\left(\frac{\partial^2\pmb e_i}{\partial\bar e_k\partial\bar e_j}-\frac{\partial^2\pmb e_i}{\partial\bar e_j\partial\bar e_k}\right)
=0
やっぱり0じゃん。どうすればいいんだ……
Christoffel記号の定義や双対変換をもう一度確認して、真以外を探さないと

曲率tensorの計算やりなおし

https://home.hirosaki-u.ac.jp/relativity/一般相対論的時空の表し方/測地線と接続係数%E3%83%BBクリストッフェル記号/補足%\EF%BC%9Aクリストッフェル記号/
\pmb f_\mu=[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{\mu\lambda}\pmb e_\lambda
\pmb\Gamma^{\sf FF}_{\nu\mu}=\frac{\partial\pmb f_\mu}{\partial\bar f_\nu}=\frac{\partial[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{\mu\lambda}}{\partial\bar f_\nu}\pmb e_\lambda+[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{\mu\lambda}\frac{\partial\pmb e_\lambda}{\partial\bar e_\alpha}[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{\nu\alpha}
わからん！

\frac{\partial[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}=\frac{\partial}{\partial\bar e_k}\left(\frac{\partial[\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial\bar e_j}-[\pmb v]^{\sf E}_l\bar{\pmb e}_l\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}\right)
= \frac{\partial^2\pmb v\cdot\pmb e_i}{\partial\bar e_k\partial\bar e_j}-\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_k}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}-\pmb v\cdot\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}
= \frac{\partial^2\pmb v}{\partial\bar e_k\partial\bar e_j}\cdot\pmb e_i+2\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_k}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}+\pmb v\cdot\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}-\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_k}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}-\pmb v\cdot\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}
\frac{\partial[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}=\frac{\partial}{\partial\bar e_k}\left(\pmb e_i\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_j}\right)=\frac{\partial^2\pmb v}{\partial\bar e_k\partial\bar e_j}\cdot\pmb e_i+\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_j}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}

2階tensorの共変微分の導出
(\pmb u\cdot\pmb A\cdot\pmb v)|_k=\frac{\partial}{\partial\bar e_k}[\pmb u]^{\sf\bar E}_i[\pmb A]^{\sf EE}_{ij}[\pmb v]^{\sf\bar E}_j
=[\pmb u\pmb v]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\frac{\partial[\pmb A]^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}+\left([\pmb u\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar EE}_{ik}-[\pmb u]^{\sf\bar E}_l\pmb\Gamma^{\sf EE}_{lk}\cdot\bar{\pmb e}_i\right)[\pmb A\cdot\pmb v]^{\sf E}_i+\left([\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar EE}_{ik}-[\pmb v]^{\sf\bar E}_l\pmb\Gamma^{\sf EE}_{lk}\cdot\bar{\pmb e}_i\right)[\pmb A\cdot\pmb u]^{\sf E}_i
=[\pmb u\pmb v]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}A_{ij}|_k+[\pmb u\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar EE}_{ik}[\pmb A\cdot\pmb v]^{\sf E}_i+[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar EE}_{ik}[\pmb A\cdot\pmb u]^{\sf E}_i
=[\pmb u\pmb v]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}A_{ij}|_k+[\pmb v\cdot\pmb A\cdot\pmb u\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E}_k+[\pmb u\cdot\pmb A\cdot\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E}_k
ここで
A_{ij}|_k=\frac{\partial[\pmb A]^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}-\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}\cdot\bar{\pmb e}_l[\pmb A]^{\sf EE}_{lj}-\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj}\cdot\bar{\pmb e}_l[\pmb A]^{\sf EE}_{il}
[\pmb A\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EEE}_{ijk}=\frac{\partial[\pmb A]^{\sf EE}_{ij}\bar{\pmb e}_i\bar{\pmb e}_j}{\partial\bar e_k}:\pmb e_i\pmb e_j
=\frac{\partial[\pmb A]^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}+[\pmb A]^{\sf EE}_{ij}\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{ik}\cdot\pmb e_i+[\pmb A]^{\sf EE}_{ij}\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{jk}\cdot\pmb e_j

2階tensorの共変微分係数は、
A_{ij}|_k=\left[\frac{\partial\pmb{A}}{\partial\bar{e}_k}\right]^\mathsf{EE}_{ij}= \frac{\partial\pmb A}{\partial\bar e_k}:\pmb e_i\pmb e_j=(\pmb\nabla\pmb A):\pmb e_k\pmb e_i\pmb e_j=(\pmb A\overleftarrow{\pmb\nabla}):\pmb e_i\pmb e_j\pmb e_k
証明
A_{ij}|_k=\frac{\partial A_{ij}}{\partial\bar e_k}-A_{lj}\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ki}\cdot\bar{\pmb e}_l-A_{il}\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}\cdot\bar{\pmb e}_l
= \frac{\partial\pmb A:\pmb e_i\pmb e_j}{\partial\bar e_k}-\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ki}\cdot\pmb A\cdot\pmb e_j-\pmb e_i\cdot\pmb A\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}
= \frac{\partial\pmb e_i\cdot\pmb A\cdot\pmb e_j}{\partial\bar e_k}-\frac{\partial\pmb e_i}{\partial\bar e_k}\cdot\pmb A\cdot\pmb e_j-\pmb e_i\cdot\pmb A\cdot\frac{\partial\pmb e_j}{\partial\bar e_k}
= \frac{\partial\pmb A}{\partial\bar e_k}:\pmb e_i\pmb e_j

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