from 数理論理学のブックマーク一覧

from http://www.math.u-ryukyu.ac.jp/~tsukuda/lecturenotes/top-exercise.html

位相空間とあるが、それにとどまらず広く集合論の問題集となっている

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目次

第 1 章 集合と写像 1

1.1 集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 集合の演算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 直積, 直和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6 同値関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

関係\sim: X^2\to Bについて、以下が成立するものを同値関係と呼ぶ

商集合X/\sim、同値類\bar xの定義はリンク先参照

x\mapsto\bar xを商写像(自然な写像)と呼ぶ

同値類との定義の違いがわからない

30. 同値類の性質

1. \forall a\in X;a\in\bar a

回答：同値類の定義と反射律から自明

2. \forall a,b\in X;a\sim b\implies\bar a=\bar b

同値関係にある要素は同じ同値類に属する

回答：推移律より自明

3. \forall a,b\in X;\lnot(a\sim b)\implies\bar a\cap\bar b=0

同値類に交わりはない

回答：対称律と推移律より(\exist c\in X;c\in\bar a\cap\bar b)\implies\exist c\in X;(c\sim a\land c\sim b)\implies a\sim b、あとはこれの対偶をとるだけ

31. 合同式\equiv\pmod nが\Z上の同値関係であることを示し、\Z/\equiv\pmod nを求める

回答

同値関係であることの証明は略

nで割り切れる数の集合、1余る数の集合、2余る数の集合、……が含まれる

32. 幾何学における同値関係

1. ２つの三角形が合同 (幾何学)である

2. ２つの三角形が相似である

3. ２つの直線が平行である

33. \forall x,y\in\R;x\sim y:\iff(x-y)\in\Zが同値関係になることを示せ

合同式の考えを実数に広げたもの

回答

\vdash\forall x,y\in\R;x-y=y=xより対称律も正しい

以上より\simは\R上の同値関係である

34. \forall l,m,p,q\in\N;(l,m)\sim(p,q):\iff l+q=m+pが同値関係であることを示し、\N^2/\simを求めよ

数vectorの差の成分がどれも同じになる数vectorの集合をひとまとめにする

1.7 順序関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

さらに\forall x,y\in X;x\le y\lor y\le xのとき、(X,\le)を全順序集合とよび、\leを全順序と呼ぶ

cf.xとyが比較可能:\iff x\le y\lor y\le x

その他定義

任意の半順序集合(X,\le)とA\subseteq X,s,i\in Xについて、

sがAの上界である:\iff A \le s:\iff\forall a\in A;a\le s

iがAの下界である:\iff i\le A:\iff\forall a\in A;i\le a

Aが上に有界である:\iff\exist s\in X;A\le s

Aが下に有界である:\iff\exist i\in X;i\le A

上界と下界の記号は、半順序関係をそのまま流用した

sがAの最大値:\iff s\in A\land A\le s

存在するなら一意で、s=\max Aと書く

iがAの最小値:\iff i\in A\land A\le i

存在するなら一意で、i=\min Aと書く

sがAの上限:\iff s\in\{s\in X|A\le s\}\land s\le\{s\in X|A\le s\}

存在するなら一意で、s=\sup Aと書く

iがAの下限:\iff i\in\{i\in X|A\le i\}\land i\le\{i\in X|A\le i\}

存在するなら一意で、i=\inf Aと書く

MがAの極大元:\iff M\in A\land\lnot\exist a\in A;M\le a\land M\neq a

全順序なら最大元と一致する

mがAの極小元:\iff m\in A\land\lnot\exist a\in A;a\le m\land m\neq a

全順序なら最小元と一致する

44. m/n:\iff\exist k\in\Z;m=knのとき、(\Z,/)が半順序集合になることを示せ

45. (2^X,\subseteq)が半順序集合だが全順序集合でないことを示せ

46. X=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}でn\backslash m:\iff m/nのとき、(X,\backslash)について以下を求めよ

極大元と極小元

A=\{1,2,3\}にて\sup A,\inf A

B=\{6,7,8\}にて\sup B,\inf B

47. 空でない集合Xに対して、filter (数学)\mathcal Fを定義できる

1. 2項関係\forall f,g: X\to\R;f\underset{\cal F}{\sim}g:\iff\{x\in X|f(x)=g(x)\}\in\mathcal Fが同値関係であることを示せ

2. 2項関係\forall f,g: X\to\R;\bar f\le\bar g:\iff\{x\in X|f(x)\le g(x)\}\in\mathcal Fを定義したとき

1. well-definedか示せ

2. (\R^X/\underset{\cal F}{\sim},\underset{\cal F}{\le})が半順序集合であることを示せ

3. \underset{\cal F}{\le}が全順序かどうか示せ

1.8 集合の濃度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.9 選択公理, Zornの補題, 整列可能定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.10 実数の上限, 下限, 上極限, 下極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.11 追加 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

第 2 章 距離空間 25

2.1 距離空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

\forall X\forall d:X^2\to\Rが以下を満たすとき、(X, d)を距離空間、dをX上の距離函数と呼ぶ

距離空間における定義

点xのε近傍:=U(x,\varepsilon):=\{y\in X|d(x,y)<\varepsilon\}

\forall O\subseteq Xにて

OがXの開集合:\iff\forall x\in O\exist\varepsilon>0;U(x,\varepsilon)\subseteq O

OがXの閉集合:\iff X\setminus OがXの開集合

\forall U\subseteq X\forall x\in UにてUが点xの近傍:\iff\exist O\subseteq U;x\in O\land OがXの開集合

\forall x\in Xにて

点xの近傍系:={\cal U}(x):=\{U\in2^X|Uは点xの近傍\}

{\cal U}^*(x)がxの基本近傍系である:\iff\forall U\in{\cal U}(x)\exist V\in{\cal U}^*(x);V\subseteq U

\forall A\subseteq Xにて

Aの(内核|開核|開核):=A^\circ:=\bigcup\{O\in2^A|OはXの開集合\}

開核の意味：/mrsekut-p/開核#5d9ab6a819827000007b1014

a\in A^\circをAの内点と呼ぶ

Aの外部 (数学):=A^e:=(X\setminus A)^\circ

a\in A^eをAの外点と呼ぶ

Aの境界:=\partial A:=X\setminus(A^\circ\cup A^e)

a\in\partial AをAの境界点と呼ぶ

Aの閉包:=\overline A:=\bigcap\{O\in2^X|A\subseteq X\land OはXの開集合\}

a\in\overline AをAの触点と呼ぶ

\forall B\subseteq Xにて、AはBで緻密である:\iff B\subseteq\overline A

Aは緻密である:\iff \overline A=X

Aは全疎である:\iff\overline A^\circ=\varnothing

第 3 章 位相空間 35

3.1 位相空間の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

定義は位相を参照

その他の定義

Oが位相\cal Oの開集合:\iff O\in{\cal O}

127.

128. 距離空間(X,d)との関係

129. 離散位相

130. 密着位相

131. 離散距離空間

132. ザリスキー位相

{\cal O}_z:=\{A\in2^\R||\R\setminus A|\in\N\}\cup\{\varnothing\}が\Rに位相を定めることを示せ

133. \{0,1\}の位相をすべて示せ

134. 位相の強弱は順序の公理を満たす

135.

136.

3.2 閉集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

距離空間における定義と同じ

3.3 近傍系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

定義3.3.1

(X,\mathcal O)を位相空間とする

\forall U\in 2^X\forall x\in X.Uがxの近傍である:\iff\exist O\in\mathcal O.x\in O\subseteq U

\forall U\in 2^X\forall x\in X.Uがxの開近傍である:\iff\exist O\in\mathcal O.x\in O\subseteq U\in\mathcal O

これは『多様体入門 (数学選書 5)』の定義と等しい

xの近傍系を\mathcal U_x(X,\mathcal O):=\{U\in2^X|\exist O\in\mathcal O.x\in O\subseteq U\}と定義する

(X,\mathcal O)の近傍系を\mathcal U(X,\mathcal O):=\bigcup_{x\in X}\mathcal U_x(X,\mathcal O)と定義する

定義3.3.2

(X,\mathcal O)を位相空間とする

\mathcal U^*:X\to 2^{2^X}が以下を満たすとき、\mathcal U^*:=\bigcup_{x\in X}\mathcal U_x^*を(X,\mathcal O)の基本近傍系と呼ぶ

(i)\forall x\in X.\mathcal U_x^*\subseteq\mathcal U_x(X,\mathcal O)

(ii)\forall x\in X\forall U\in\mathcal U_x(X,\mathcal O)\exist V\in\mathcal U^*_x.V\subseteq U

定義3.3.3

(X,\mathcal O)を位相空間とする

\mathcal U(X,\mathcal O):X\to 2^{2^X}\setminus\{\varnothing\}が近傍系の公理を満たすとき、\mathcal U(X,\mathcal O):=\bigcup_{x\in X}\mathcal U_x(X,\mathcal O)は(X,\mathcal O)の近傍系であるという

1. \forall U\in\mathcal U_x(X,\mathcal O).x\in U

2. \forall U_1,U_2\in\mathcal U_x(X,\mathcal O).U_1\cap U_2\in\mathcal U_x(X,\mathcal O)

3. \forall U_1\in\mathcal U_x(X,\mathcal O)\forall U_2\subseteq U_1.U_2\in\mathcal U_x(X,\mathcal O)

4. \forall U_1\in\mathcal U_x(X,\mathcal O)\exist U_2\in\mathcal U_x(X,\mathcal O).U_2\subseteq U_1\land\forall y\in U_2.U_1\in\mathcal U_y(X,\mathcal O)

定義3.3.4

(X,\mathcal O)を位相空間とする

\mathcal U^*(X,\mathcal O):X\to 2^{2^X}\setminus\{\varnothing\}が基本近傍系の公理を満たすとき、\mathcal U^*(X,\mathcal O):=\bigcup_{x\in X}\mathcal U_x^*(X,\mathcal O)は(X,\mathcal O)の基本近傍系であるという

1. \forall U\in\mathcal U_x^*(X,\mathcal O).x\in U

2. \forall U_1,U_2\in\mathcal U_x^*(X,\mathcal O)\exist U_3\in\mathcal U_x^*(X,\mathcal O).U_3\subseteq U_1\cap U_2

3. \forall U_1\in\mathcal U_x^*(X,\mathcal O)\exist U_2\in\mathcal U_x^*(X,\mathcal O).U_2\subseteq U_1\land\forall y\in U_2\exist U_3\in\mathcal U_y^*(X,\mathcal O).U_3\subseteq U_1

問題

3.4 内部, 外部, 閉包 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5 点列の収束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.6 フィルターの収束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.7 連続写像と相対位相 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

\forall (X,{\cal O})\forall A\subseteq Xにて{\cal O}_A:=\{O_A\in X|\exist O\in{\cal O};O_A=A\cap O\}をXによるAの相対位相と呼ぶ

{\cal O}_AはAに位相を定める

(A,{\cal O}_A)を部分位相と呼ぶ

3.8 位相の生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

第 4 章 位相空間の性質 49

4.1 分離公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 コンパクト性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3 連結性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

第 5 章 試験問題 51

参考文献 75

索引

#2023-11-25 18:32:42

#2023-11-24 15:31:39

#2023-05-20 09:45:44

#2021-04-07 13:17:02