定義

任意の半順序集合(P,\le)と\forall F\in 2^Pが以下を満たすとき、Fを(P,\le)上のfilterと呼ぶ

1. F\neq\varnothing

2. F\subseteq P

3. \forall x,y\in F\exists z\in F;z\le x\land z\le y

これを「Fはfilter基」「Fは双対順序が有向集合」と同値らしい

全順序律が不成立だとxとyを比較できないときがある

P=2^\N,\le=\subseteqでイメージするとわかりやすい

これは\forall x,y\in F;x\cap y\subseteq Fを表す

wikipediaに図解がある

交わらない集合は除外されている

4. \forall x\in F;\{p\in P|x\le p\}\subseteq F

「Fは上方集合」と同値

単項filterを使うと\forall x\in F;\uparrow x\subseteq Fとも書ける

5. P\neq F

これを仮定しないこともある？

またこれを仮定した場合を特に「固有filter」または「真のfilter」と呼ぶらしい

関連

これって本当にfilterなの？

\forall x\in \uparrow p;\uparrow x\subseteq\uparrow pが成り立てばいいのだが

なんのために編み出した概念なのか

もともと位相幾何学でのなにかを解決するために作られたらしい？

その後超準解析やアローの不可能性定理でも使われるようになった？

References

#2025-01-29 17:13:42

#2025-01-17 15:56:42

#2022-04-10 08:38:48