対象A,\emptyset\in\mathrm{Set}の間に射が存在するかどうかを考える

A\ne \emptysetとする

ここで考える必要があるのは以下の3パターンのみ

①\emptyset\to A

②A\to\emptyset

③\emptyset\to \emptyset

①\emptyset\to A

この射は常に存在する

なので\emptysetは始対象となる

この写像のことを空写像と言う

\emptysetから任意の集合への写像が存在すると言っている

なぜか

ここで、写像のグラフの定理を参照する

集合X,Yと、直積の部分集合G⊂X\times Yに対して

G=G(f)を満たす写像f:X→Yが存在するための必要十分条件は

∀x\in X, \exist!y\in Y:(x,y)∈Gを満たすことである

最後の条件を以下に書き換える

∀x(x∈X\Rightarrow ∃!y∈Y\land(x,y)∈G)

「xがXの元ならば、Yの元f(x)がただ一つ定まる」

今回のものに適用するならば

\forall x : x\in\emptyset\Rightarrow\exist! a\in A\land (x,y)\in G

含意の前提、「xが\emptysetの元ならば」が偽なので、この命題は真になる

なので、「Gは存在する」

よって射は存在する

空写像に対する写像のグラフが空集合

包含写像というのもある

正直、完全には納得していない

②A\to\emptyset

行き先がないので、こういう写像は存在しない

③\emptyset\to \emptyset

恒等射は一つ存在する

①の議論を適用して考えている

①→②→③と見るより、①→③と見たほうがわかりやすい

0の0乗の話に似ている

参考

これが一番わかりやすかった

『圏論入門』 p.62